多様体

7 The Planar Shape Space ぱらぱらめくる『Nonparametric Inference on Manifolds: With Applications to Shape Spaces』

Direct Similarity Shape Spacesの中での場合 平面上の形の解析は形解析の基本であり、需要も多いので、取り立てる 二次元平面上の点を複素平面上の点とみなす 複素数重心で標準化すると、重心を中心としたk次元複素ベクトルが形に対応する これを倍すること…

6 Kendall's (Direct) Similarity Shape Spaces ぱらぱらめくる『Nonparametric Inference on Manifolds: With Applications to Shape Spaces』

d次元球面上の点集合があったときに、m=2,3次元回転を同一視して、商群を取ったもの : 特殊直交群 (mxm直交行列であって、行列式が +1) m=2,3が大事な例 特徴点がm=2次元座標として得られているとする 特徴点の数k=30の例 まず、m=2次元の両軸について原点中…

12 Nonparametric Bayes Inference on Manifolds ぱらぱらめくる『Nonparametric Inference on Manifolds: With Applications to Shape Spaces』

unit sphereとplanar shape space について記述する ノンパラなのでDirichlet processを使ったり ベイズなので事前分布、尤度、KLdivergenceを使ったりする

5 Landmark Based Shape Spaces ぱらぱらめくる『Nonparametric Inference on Manifolds: With Applications to Shape Spaces』

m次元空間(多様体)にk > m 個の点があるとき 変換不変量を問題にすることで、k個の点座標の異同を定量して、検定・推定・分類等をする 形空間(Shape spaces)の点として形を扱う Kendall's similarity shape spaces (平行移動と回転を無視。スケール変換で標…

4 Intrinsic Analysis on Manifolds ぱらぱらめくる『Nonparametric Inference on Manifolds: With Applications to Shape Spaces』

多様体上の距離を測地線に沿ってリーマン計量にのっとって測ることにするのが、すなおな距離のとり方 二乗ノルムをコストにしてFrechetを定めるのが基本。それ以外のコストノルム関数も使える このようにしたとき、IntrinsicなFrechet mean & dispersionが推…

3 Extrinsic Analysis on Manifolds ぱらぱらめくる『Nonparametric Inference on Manifolds: With Applications to Shape Spaces』

多様体を高次元ユークリッド空間に埋め込む 多様体上の2点の「二乗距離」を、埋め込んだユークリッド空間でのユークリッド二乗距離にしてしまう、というのがExtrinsicなアプローチの基本 式はたくさん出てくるけれど、普通の推定の話 高次元ユークリッド空…

2 Location and Spread on Metric Spaces ぱらぱらめくる『Nonparametric Inference on Manifolds: With Applications to Shape Spaces』

空間があってそこに確率分布があるとき、その平均(期待値)とばらつきとを扱うのがこの本 ある点があったときに、その点と分布に従う点からのコスト(これの定義の仕方が色々ある)の期待値が最小になるとき、それを「平均」とする、これが基本 コストとしては…

1 Examples ぱらぱらめくる『Nonparametric Inference on Manifolds: With Applications to Shape Spaces』

円周上の観測点セットから、分布の中心(平均)の点推定・区間推定 球面上の観測点セットから、分布の中心(平均)の点推定・区間推定 ゴリラの頭蓋形の男女差比較・検定、分類器 特徴点の位置の平均を求めるのに、Extrinsicにもできるし、Intrinsicにもできる …

9 Stiefel manifolds ぱらぱらめくる『Nonparametric Inference on Manifolds: With Applications to Shape Spaces』

この章がここに入っているのはなぜなんだろう??? (Direct) Similarity Shape Spaces と、その変形であるRelfection Shape Spacesは行列であって、その成分の2乗和が1という制約を基本としている これに回転同一視をして、商にしたり、線型独立性制約を…

8 Reflection (Similarity) Shape Spaces ぱらぱらめくる『Nonparametric Inference on Manifolds: With Applications to Shape Spaces』

m次元k個の座標xを、preshape 上のzに変換し、というの集合をorbitと呼ぶ。ただしは直交変換 このときという同相関係にある ただしで、はそのnon-singular な部分 これは、のうちのnon-singularな部分(これは回転同一視)であって、さらにReflectionについて…

ぱらぱらめくる『Nonparametric Inference on Manifolds: With Applications to Shape Spaces』

Nonparametric Inference on Manifolds: With Applications to Shape Spaces (Institute of Mathematical Statistics Monographs)作者: Abhishek Bhattacharya,Rabi Bhattacharya出版社/メーカー: Cambridge University Press発売日: 2012/04/05メディア: ハ…

統計多様体 どうして「期待値」を出すの?

統計多様体のフィッシャー情報行列を出しましょうというと とか、『期待値』を計算する どうしてかっていうと、『各点』は確率密度分布で、それぞれの『点』である確率密度分布と、その近傍の『点』である確率密度分布とをつないだときの変化具合は、「分布…

統計多様体 絵にしてみる

参考pdf 統計多様体は、確率密度分布(確率質量分布)の集合である。集合の要素は確率密度分布に相当する。確率密度分布がパラメタで表されているとき、点はパラメタが決めた座標に応じて並んでいる。その並んだものが統計多様体 たとえば、指数分布というも…

オリゴ次元データ解析のメモ

オリゴ次元データを扱いたい ここ数週間(数か月)でいじったことのメモ 形・多様体 ランダムだけれど隣とはつながっている〜ランダムフィールド 曲線・パラメタ表現・フルネ=セレ・MovingFrame 曲率 共形変換・複素関数・メビウス変換 射影幾何・リーマン球…

分割表として一般化

昨日の話題は説明変数が2値、従属変数も2値 従属変数を3値に拡張 また、計算を少し速く 図は従属変数が3値。灰色は仮説空間。黒い点は複数の仮説が指し示す「最尤モデル」でその強さを点の大きさにしたもの。赤い点は全体総合の「平均」 # n元テーブル #…

分割表として一般化

昨日の話題の一般化 昨日は2x2表からベータ分布を使って、事後生起確率分布を算出する話と、それを数値計算的に出す話を書いた 数値計算にするにしても、次元が膨大になると大変そう…と思ったり、要因の数が大きくなりすぎると、overfittingがどういう形で効…

仮説亜空間の次元

前の記事の課題を一般性を持たせて書いておこう 今、個の仮説があって、それに対応して、空間に定義された個の確率密度分布がある 事前確率として、が想定されているとき、事前確率密度分布は、ただし、と表される。 ここでデータ・エビデンスがもたらされた…

数値計算的にやろう あっちかこっちか

ベータ分布を用いた理論的計算を前の記事で書いた 既知分布を使えないこともある そんなときに、うまく数値計算的に同じことができると便利 # 数値計算的にやろう # 既存の関数などが使えないが、2次元空間に格子状の確率値が得られたとして、同じことを実…

あっちかこっちか

これは下書き 昨日の話題の脇道 要因Xのありなしとともに、ある事象Yの生起の有無の集計をとったら Y(+) Y(-) X(+) a b X(-) c d だったという さて。新しいサンプルがX(+)だったときに、Yの生起確率に何を思うのか… X(+),X(-)で生起確率が違うのなら、(a,b)…

あっちかこっちか

昨日の話題の脇道 要因Xのありなしとともに、ある事象Yの生起の有無の集計をとったら Y(+) Y(-) X(+)女 a b X(-)男 c d だったという さて。新しいサンプルがX(+)だったときに、Yの生起確率に何を思うのか… X(+),X(-)で生起確率が違うのなら、(a,b)を用いて…

鑑別診断と『確定診断』

鑑別診断は、観察情報による診断名ごとの事後確率を計算すること 事後確率を比較し、十分な尤度的根拠があるとみなせれば一つの診断名に『確定』する 場合によっては複数の診断名に『絞り込む』 診断名が決まると、考慮する必要が思い浮かばない数多の治療法…

治療評価の結果を使って判断に役立てること

同一の条件に対して発生した0/1の集計結果から、1になる確率を推定するときにベータ分布を使うことがある 1個の量的変数に依存して発生する0/1の集計結果から、量的変数に関してロジスティック関数に回帰することもよくある ロジスティック関数への回帰では…

治療評価

(治療)介入がよかったかわるかったかの評価をすることはよくある(いつも評価する) 評価というのは、尺度に照らすこと 最も簡単な尺度は、0か1かに分けること 「効いた」か「効かなかった」か もう少しだけ複雑にすれば「効いた/効かなかった」「副作用があっ…

治療介入

治療介入というのは、病的亜分布を時間経過後にどこかしらに移動させる力のあるもの 病的亜分布は「なにもしな」くても状態空間の中を移動して行くが、介入をするとその移動パターンが変化する 「全体としてよい治療」というのは、その亜分布を「全体」とし…

病的状態と診断と診断基準

非病的状態は空間に分布をなしている 病的状態はそこからの逸脱であって、なにがしかのまとまりをもつ亜分布 非病的状態と病的状態とには道があることもあれば、両者は分布特性上、区切ることのできないひとつながりかもしれない 道は前疾病状態とみなすこと…

状態空間

状態空間が真のものであるにせよ、観察可能項目が張る空間であるにせよ、多次元空間 状態を動的定常状態として、そこから観察される項目の観察項目は状態の「座標」ではない、というように考えてもよいし、観察項目が張る空間において、「定常状態」は「軌道…

ベイジアンネットワーク

上のネットワークには、観察しえない・数値化しえないノードが3つある 真のpre/post状態とその比較評価の3つである 「観察できない」ものを「隠れ」ているとみなすのが「隠れマルコフ」の「隠れ」だが、「ないもの」はそもそもどうカテゴリ化したらよいの…

確率変数たち

「状態を観察して診断して介入計画を立てて介入結果を観察して介入効果を判断する」というごく単純な枠組みを考える これを経時的に行うと真の状態は不明なままに観察のみを用いて操縦することと同じになるのでカルマンフィルタ的なプロセスになる(がここで…

メモ

昨日の続き 2つの多様体があって、それぞれが確率密度分布(のようなもの)であるとき その2つの多様体が独立であるときには、2つの多様体の同時確率密度分布に相当する多様体は、もとの2つの多様体の次元がm1,m2であったとして、m1 x m2 そしてその疎密は…

メモ

たとえば、説明変数が数直線、従属変数がそれに対応する三角関数の値になっていると、説明・従属の両変数の関係は、周期的 周期が短くなると多くの観測点が必要となるのは想像がつくが、それはどれくらい?というのを観測に誤差がまったくないものとして、調…