代数多様体上の酔歩

  • 代数多様体っていうのはカオス理論で言うところのアトラクタ(参考)みたいなものらしい(こちら)
  • アトラクタの上で決定論的な動きを考えれば、ベクトル場を想定すればよい
  • アトラクタの上で確率的な動きを考えれば、基本的には1歩ずつの酔歩の合成で考えればよいだろう
  • レヴィ過程(こちら)にしてもよい
  • 未来は「今」にのみ依存しているとみなすのでなければ、「過去」の情報を持ち込んで考えることになるから、「時間深度」のあるマルコフ過程の要素を入れることになる(参考)
  • こんな現象を観測データから読み取る逆問題(参考)として解くには確率微分方程式(参考)も必要

時間を気にする

  • こちらから空間と時間
  • 1つの空間軸と1つの時間軸とが作る2次元時空間を考える
  • 2変数あって、x,tとおき、関数f(x,t)を2変数関数とする
  • 今、空間とか時間とかを忘れて、2変数とその関数について考えるとき、xに関する偏微分、tに関する偏微分などが普通に考えられる
  • では、拡散する、とか、遺伝的に浮動する、とかを考えるとき、何を気にしているのだろう?
  • 拡散・浮動という現象は、「単位『時間』あたりの物質の『空間』に関する移動」、「単位『時間』あたりの、『空間』に関する同一地点の増減」を見ている
    • 拡散にしろ、浮動にしろ、自由度いっぱいの変化パターンを許せば、どちらか片方だけでも、変化量の説明はつくだろう
  • 時間経過を追いかけている点ではマルコフ過程的にとらえたいということか(こちらマルコフ過程に言及)
  • 今、関数f(x,t)として大きく2つのタイプの関数を考えると、何がどうしたいかの見通しがよくなりそうに思われる
    • 1つ目は、xに関する関数とtに関する関数との線形和
    • 2つ目は、xに関する関数とtに関する関数との積
  • x,tに関する関数は、ある程度、動きがある関数の方が、関数の特殊性に左右されないので、そんな関数を選んでみる
  • ちなみに、Rのプロットの基本ノウハウに関して(こちらの関係でコメントした(こちら)が)言えば、Rで複数の図を並べることを以下でやっている
x<-seq(from=0,to=20,by=0.1)
t<-x
X<-expand.grid(x,t)
y<-sin(X[,1])*cos(X[,2])
y2<-sin(X[,1])+cos(X[,2])
par(mfcol=c(1,2))
image(x,t,matrix(y,nrow=length(x)))
image(x,t,matrix(y2,nrow=length(x)))
par(mfcol=c(1,1))