行列式(駆け足で読む統計学のための数学入門30講 20)



正方行列に定義されたスカラー量の1つ。|¥bf{A}|det(¥bf{A})と表す

  • WikiPediaにあるサラスの方法が実計算レベルで一番早いか・・・
  • p次正方行列の行列式の特徴
    • |c¥bf{A}|=c^p|¥bf{A}|
    • 対角行列の行列式は対角成分の積
    • 三角行列の行列式は対角成分の積
    • |¥bf{AB}|=[¥bf{A}||¥bf{B}|
    • ¥bf{A}が正則ならば|¥bf{A^{-1}}=¥frac{1}{|¥bf{A}|}
    • ¥bf{A}が正則ならば|¥bf{A}|¥not=0
    • |¥bf{A^T}|=|¥bf{A}|
    • 直交行列の行列式は1または-1
    • ¥bf{A}が正定値行列ならば、¥bf{|A|}¥le ¥prod_{i=1}^{p}a_{ii}
  • 行列式の展開と余因子行列
    • p次正方行列¥bf{A}の第i行と第j列を抜いた(p-1)行の正方行列を¥bf{A_{ij}}とし、¥bf{A_{ij}}行列式|¥bf{A_{ij}}|を用いて、a_{ij}の余因子というものを次のように定義する。¥Delta_{ij}=(-1)^{i+j}|¥bf{A_{ij}}|
    • 余因子でできたp次正方行列(余因子行列)は¥bf{¥Delta}=¥begin{pmatrix}¥Delta_{11}&¥Delta_{21}&¥cdots&¥Delta_{p1}¥¥ ¥Delta_{12}&¥Delta_{22}&¥cdots&¥Delta_{p2}¥¥ ¥vdots&¥vdots&¥cdots&¥vdots¥¥ ¥Delta_{1p}&¥Delta_{2p}&¥cdots&¥Delta_{pp} ¥end{pmatrix}
      • 注意:通常のijのつき方と逆になる
    • ¥bf{A¥Delta}=¥bf{¥Delta A}=|¥bf{A}|¥bf{I_p}