ベクトルと行列の加減・積(駆け足で読む統計学のための数学入門30講 14 15)

  • 第14講 ベクトルと行列の加減
  • 第15講 ベクトルと行列の積



  • データはサンプルと変数の行列で表される
    • ベクトルや行列を使ってプログラミングができるとき(SやR)、大いに力を発揮する。そうでないと、要素単位での処理をすることになり、うまみが小さい
  • ベクトル・行列の表記とトレース
    • p次縦ベクトル(列ベクトル)
      • ¥bf{x}=¥begin{pmatrix}x_1¥¥x_2¥¥¥vdots¥¥x_p¥end{patrix}
    • p次横ベクトル(行ベクトル):p次列ベクトル¥bf{x}の転置ベクトル¥bf{x}^Tがp次行ベクトルであり
      • ¥bf{x}^T=(x_1,x_2,¥cdots,x_p)
    • pxq行列
      • ¥bf{A}=¥begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&¥cdots&a_{1q}¥¥a_{21}&a_{22}&¥cdots&a_{2q}¥¥ ¥vdots&¥vdots&¥cdots&¥vdots¥¥a_{p1}&a_{p2}&¥cdots&a_{pq}¥end{pmatrix}
    • 行列の加減とスカラー倍は、行列の(i,j)要素同士の加減とスカラー
    • ゼロベクトル・ゼロ行列(全要素が0であるベクトル・行列)
      • ¥bf{0}=¥begin{pmatrix}0¥¥0¥¥¥vdots¥¥0¥end{pmatrix}
      • ¥bf{O}=¥begin{pmatrix}0&0&¥cdots&0¥¥0&0&¥cdots&0¥¥¥vdots&¥vdots&¥cdots&¥vdots¥¥0&0&¥cdots&0¥end{pmatrix}
    • 正方行列のトレース(対角成分の和)
      • tr(¥bf{A})=¥sum_{i=1}^p a_{ii}
      • トレースの性質
        • tr(¥bf{A})=tr({¥bf{A^T})
        • tr(c¥bf{A}+d¥bf{B})=ctr(¥bf{A})+dtr(¥bf{B})
        • tr(¥bf{AB})=tr(¥bf{BA})
        • tr(¥bf{AA^T})=tr(¥bf{A^TA})=(¥bf{A}のすべての要素の自乗和)
        • ¥bf{x^TAx}=tr(¥bf{x^TAx})=tr(¥bf{Axx^T})
        • tr(¥bf{A})=(¥bf{A}のすべての固有値の和)
  • ベクトルの内積と長さと単位ベクトル・行列の積
    • ¥bf{x}¥bf{y}内積(¥bf{x},¥bf{y})=¥sum_{i=1}^p x_iy_i
    • ¥bf{x}の長さ=||¥bf{x}||=¥sqrt{(¥bf{x},¥bf{x})}=¥sqrt{¥sum_{i=1}^p x_i^2}
    • 単位ベクトル¥bf{e(x)}は長さ1のベクトル
      • ¥bf{e(x)}=¥frac{1}{||¥bf{x}||}¥bf{x}
    • ベクトルの作る角¥theta
      • ¥cos¥theta=¥frac{(¥bf{x},¥bf{y})}{||¥bf{x}||||¥bf{y}||}
    • 行列の積:pxq行列とqxr行列はqが共通なので、行列の積が計算できる
      • pxq行列¥bf{A}とqxp行列¥bf{B}との積は、要素数pのベクトル¥bf{a_i}=¥begin{pmatrix}a_{i1}¥¥a_{i2}¥¥¥vdots¥¥a_{ip}¥end{pmatrix}を用いて¥bf{A}=¥begin{pmatrix}¥bf{a_1^T}¥¥¥bf{a_2^T}¥¥¥vdots¥¥¥bf{a_q^T}¥end{pmatrix},¥bf{B}=¥begin{pmatrix}¥bf{b_1}&¥bf{b_2}&¥cdots&¥bf{b_q}¥end{pmatrix}と表すとき
        • ¥bf{AB}=¥begin{pmatrix}(¥bf{a_1},¥bf{b_1})& (¥bf{a_1},¥bf{b_2})&¥cdots&(¥bf{a_1},¥bf{b_q})¥¥ ¥vdots&¥vdots&¥cdots&¥vdots¥¥ (¥bf{a_q},¥bf{b_1})& (¥bf{a_q},¥bf{b_2})&¥cdots&(¥bf{a_q},¥bf{b_q}) ¥end{pmatrix}
    • 2次形式
      • p次元ベクトルとp次正方行列とが作るスカラー量の書き表し方のひとつ
    • 統計学での使用
      • 多変量データをベクトル・行列で表すと、平方和・偏差積和・相関係数・分散共分散行列・相関係数行列などが、単純に書き表せる

[tex:\bf{x}=\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\\vdots\\x_p\end{patrix}]
[tex:\bf{x}][tex:\bf{x}^T]
[tex:\bf{x}^T=(x_1,x_2,\cdots,x_p)]
[tex:\bf{A}=\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1q}\\a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2q}\\ \vdots&\vdots&\cdots&\vdots\\a_{p1}&a_{p2}&\cdots&a_{pq}\end{pmatrix}]
[tex:\bf{0}=\begin{pmatrix}0\\0\\\vdots\\0\end{pmatrix}]
[tex:\bf{O}=\begin{pmatrix}0&0&\cdots&0\\0&0&\cdots&0\\\vdots&\vdots&\cdots&\vdots\\0&0&\cdots&0\end{pmatrix}]