部分ベクトル空間(駆け足で読む統計学のための数学入門30講 18)

  • 第18講 部分ベクトル空間



  • p次元ベクトルはp個の互いに1次独立なp次元ベクトルの1次結合で表せる(このベクトルのセットを基底と呼ぶ)
    • 基底の構成ベクトルは互いに直交する
    • 基底の構成ベクトルは長さが1であると便利であるが、その方法としてグラム・シュミットの直交化法と呼ばれる方法がある
  • p個のp次元1次ベクトル(第i成分が1でそれ以外が0であるベクトル:基本ベクトル)は互いに1次独立なp次元ベクトルのセットである(基本ベクトルのセットを標準基底と呼ぶ)
  • p次ベクトルはp次元空間を構成し、基底はそのp方向のを決めている。p次元空間には、q(q<p)次元の空間(部分ベクトル空間)を内部に持つ。部分ベクトル空間はp次元ベクトル空間の原点を含むものを言う
  • p次元ベクトル空間を¥bf{R^p}と表す。その部分ベクトル空間¥bf{M}があり、その¥bf{M}に属するすべてのベクトルと直交するベクトルの集合を¥bf{M}の直交補集合と呼び、¥bf{M^{¥bot}}と表す
    • ¥bf{M}+¥bf{M^{¥bot}}=¥bf{R^p}
    • ¥bf{M}¥cap ¥bf{M^{¥bot}}=¥emptyset

[tex:\bf{M}+\bf{M^{\bot}}=\bf{R^p}]
[tex:\bf{M}\cap \bf{M^{\bot}}=\emptyset]