行列のランク(駆け足で読む統計学のための数学入門30講 19)
- 第19講 行列のランク
- p次元ベクトル空間上のn個のp次元ベクトルがあるとする。このn個のベクトルの1次独立な最大数が、q[であるとすると、tex:q\le q]であり、であり、n個のベクトルは次元qのベクトル空間を張っている。このとき、pxn行列のランクと言う
- は、pxn行列なので、n次元ベクトルに左からかけることができる。n次元ベクトル全体に対してを左からかけてできるベクトルの集合は、n次元ベクトル全体を元としているが、なので、q次元の部分ベクトル空間に含まれるし、qとpの関係から、p次元空間に含まれる
[tex:\bf{M(A)}=\{\bf{y}:\bf{y}=\bf{Ax}=x_1\bf{a_1}+x_2\bf{a_2}+\cdots+x_n\bf{a_n},\bf{x}\in\bf{R^n}\}\subseteq\bf{R^p}]
[tex:\bf{K(A)}=\{\bf{x}:\bf{Ax}=0\}\subseteq\bf{R^n}]