第４章ベクトルと行列駆け足で読む『離散数学〜コンピュータサイエンスの基礎数学』

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ベクトル vector と行列 matrix と集合 set

データは添数付き集合の型に並べて扱われることが多い。添数付きデータ型は配列と呼ばれたり、１次元の配列と２次元、またはそれ以上の配列を区別して、ベクトル(１次元)、行列(２次元)、多次元行列と呼び分けたりする

ベクトル

n個の成分を持つリスト $u$

すべての成分が0のベクトルを零ベクトル zero vector と呼ぶ。２つのベクトルがあり、要素数が等しく、対応する要素同士がすべて等しいとき、その２つのベクトルは等しい equal と言う, $u=v$

成分の個数が等しい２つのベクトルには和 sum が定義され、それは $u+v$ と表さる。 $u$ と $v$ の各成分の和が和ベクトルの成分に等しい

ベクトルには2種類の積 product スカラー積とベクトル積が定義される。スカラー積とは、ベクトルの各成分にある値をかけてできる値を成分としてもつベクトルである。ベクトル積には内積 dot product, inner product と外積 outer product がある。外積は行列になるので、後述することとする。内積は、成分数の等しいベクトル間に定義され、それは、対応する成分の積の和と定義される。その値はスカラーである。内積は、1行N列の行ベクトルとN行1列の列ベクトルの積、ともいえる。あるベクトルと自身との内積はゼロ以上であり、その平方根をノルム norm または長さ length と呼ぶ。ノルムがゼロのベクトルは零ベクトルである。

行列

行列は、N行M列の矩形の数値配列である。行 row (縦) 列 column (横)で、M個の列ベクトルの並びともN個の行ベクトルの並びともみなせる。第i行j列の成分をij-成分 ij-entryと呼ぶ。

N行M列の行列について、NxMを行列のサイズ size と定義する。サイズの等しい２つの行列があって、そのすべての成分が等しいとき、その行列は等しい equal と言う。成分のすべてが零の行列は零行列 zero matrixと呼ばれる。

サイズの等しい行列には和が定義される。行列の和は、ij-成分の和を成分とする行列のことである。行列にはスカラー積も定義される。それは、各成分をスカラー倍したものである。特にスカラーとして-1をかけてできる行列を負行列 negative of matrix と呼ぶ

行列の積には行列積が定義される。NxP行列にPxM行列かける場合に定義される。

転置行列。NxM行列の転置行列はMxN行列である。ij-成分の値をji-成分の値としたもののことである

正方行列
- 列数と行数が等しい行列を特に正方行列と呼び、NxN行列の場合に、位数 N, order N からなると言われるとともに、N次正方行列 n-square matrix と読まれる。正方行列においては、ii-成分を特に、主対角成分 main diagonal, または簡単に対角成分 diagonal と呼ぶ。

正方行列の演算。スカラーは、１ｘ１の正方行列であるとみなし、スカラーでの諸定義(和・べき・多項式)を正方行列に拡張することができる。スカラー 1 に相当するのは、単位行列 unit matrix $I$ である。これは、主対角成分がすべて１でそれ以外の成分がすべて０であうような行列である。スカラー 0 に相当するのは零行列。スカラーの和は対応する行列成分同士の和を成分とする行列を作ることで、行列のべきは自身の行列の積とその回数で定義し、 $A^0=I$ であるものとすることで、スカラーの0乗が1であることと対応させる。こうすることで、スカラー $x$ に定義される多項式関数 $f(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+￥cdots +a_nx^n$ を行列Aにあてはめ、 $f(A)=a_0+a_1A+a_2A^2+￥cdots +a_nA^n$ とする。スカラー $x$ について $f(x)=0$ を満足するような $x$ を多項式 $f$ の零点 zero または根 root と呼ぶが、これと同様に、 $f(A)=0$ を満足するような行列Aを多項式 $f$ の零点根と呼ぶ

正方行列の可逆性と正則。関数において可逆 invertible, inverseを定義した→こちら。行列も関係を表していることから、行列が表している関係が可逆か否かを定められる。関数の場合の可逆は１対１で上への関数である、つまり１対１対応である場合であり、そのような関数 $f$ を２回作用させる $f￥circ f$ と元にもどる( $f￥circ f = 1$ ことであるとも言えた。行列の可逆も同様に定義し、 $A A^{-1} = I$ のような $A^{-1}$ が存在するとき $A$ を可逆であると呼び、 $A^{-1}$ を逆行列と呼ぶ。ただし、行列用語では"invertible"は可逆ではなく、正則と訳されるのが普通である

正則(可逆)と行列式。行列には正則(可逆)なものとそうでないものとがある。正則(可逆)か否かは行列式 determinant と呼ばれるスカラー量が0でないことであることが知られている。n次元正則行列の行列式は次式で与えられる。 $A=(a_{ij})$ に対して、 $￥det(A)=￥sum sgn(￥sigma) a_{1j_1}a_{2j_2}￥cdots a_{nj_n}$ 、ただし、 $￥{1,2,￥cdots ,n￥}$ が作る順列 $￥sigma = j_1j_2￥cdots j_n$ のすべてについての和であり、符号 $sgn(￥sigma)$ は順列 $￥sigma$ の数字を昇順に並べ替えるとき、数字の交換回数が偶数回ならプラス、奇数回ならマイナスとすることとする。なお、行列式は、乗法的 $￥det(AB)=￥det(A) ￥det(B)$ であることも知られている

プログラミング問題
- データの格納はテンソルで行うことで拡張性・一般性を確保する。テンソルデータは後述(補足)の通り、総データ数が、 $￥prod_{i=1}^m n_i$ で、それが、階数の添字で表される。Tensorオブジェクトがもつべき情報は、(1) 階数 (スカラー)(2) 次数(階ごとに次数が変わる) (ベクトル(長さは階数)(3) データ(総データ数は上述の通り) (ベクトル、長さは総データ数) (4) 添字管理リスト(２次元リスト、データの通し番号と、それに対応する階数分の添字の値(ただし、(4)は冗長情報、つまりデータの通し番号から添字は算出可能であるし、添字の値のセットから通し番号は計算できる)
- スカラー倍はテンソルの全要素のスカラー倍をする->ProdSchalarTensor
- 同じ階数・同じ次数のテンソル同士には和があって、対応要素を足し合わせる->SumTensor
- dot productは、同次数のベクトル同士に定義できて、スカラーが返る。これは関数テンソルになっている->DotProductTensor
  - $t_{jk}=1￥times￥;a_j￥;b^k￥;￥; when￥; j=k$
  - $t_{jk}=0￥times￥;a_j￥;b^k￥;￥; when￥; j￥not=k$
- ベクトルの長さは、ベクトルとそれ自身との内積であるので、DotProductTensorを用いて計算できる->NormVector
- 行列式はn次正方行列について定義される->DeterminantMatrix
  - $det(A)=￥sum sgn(￥sigma)a_{1j_i}a_{2j_2}￥cdots a_{nj_n}$ ->次数nについて、順列 $n!$ の項の和になる。個々の項は、1-nまでの昇順整列と順列から作られる整数のペア $i,n_i$ について、 $a_{in_i}$ をの積に、この順列のpermutation symbolをかけたものの和となっている
2次正方行列の逆行列->Inverse2
- 行列式の非ゼロをもって、逆行列の存否はわかる。2次正方行列については、算術的に逆行列を計算できる



public class Tensor {

	int rank;

	

	int[] dimension;

	

	double[] data;

	int[][] index;
	public static void main(String[] args) {

		

		//Create Tensor Object and print out its features

		System.out.println("Tensor object is consisted of int rank, int[] dimension, double[] data" +

				" and int[][] index");

		int rank_ = 3;

		int[] dim = {5,3,4};

		int numdata_ = 1;

		for(int i=0;i<rank_;i++){

			numdata_*=dim[i];

		}

		double[] data_ = new double[numdata_];

		for(int i=0;i<data_.length;i++){

			data_[i]=i;

		}

		

		Tensor t = new Tensor(rank_,dim,data_);

		PrintTensor(t,"\t","\n");

		

		//Pick up element of tensor with indices

		int[] s ={4,1,2};

		System.out.println("Tensor t's elemen t_4,1,2 is");

		PrintChoiceElem(t,s);

		

		//schalar

		System.out.println("\n