n次元球の立体角〜確率密度

多変量が作る多次元空間において確率密度を考えるとき、データは多変量の非直交基底によって位置づけられる。多次元球の点の広がりは、球の立体角で捉えることが可能で、立体角は多次元空間中のベクトルの内積・外積(等)によって算出される。また、立体角は対応する多次元錘の底面(多次元球の表面の一部)に対応し、底面の面積と立体角の大きさとの関係が存在する。そういう意味で、n次元球の体積と表面積について、覚書。

円は２次元球。その面積(体積)は、円周(表面積)は

球は３次元球。その体積は、表面積は

であることに注意すれば、

n次元球の体積は、表面積は

体積と表面積の関係は

また、、であることから、

nが奇数のときと表して、

nが偶数のときと表して、

掲載図は単位半径のn次元球の体積と表面積の図。体積は、次元７で最大に、表面積は次元５で最大になることがわかる。掲載図の原図はこちら。掲載図作成のエクセルファイルはこちら。

ガンマ関数、階乗、球についてはWikiを参照。

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