サブグループ内の順位、試験の季節に思うこと - ryamadaの遺伝学・遺伝統計学メモ

今、N個の値の集合があるとする。それらをn個ずつk個の部分集合に分ける。

今、全体N個の中での、順番がi番目の値が、n個の部分集合内で、1番になる確率は、どうなるだろうか。

また、このようにして選ばれる、k個の部分集合内の１番の値の期待値はいくつになるだろうか？

季節柄、同一試験をいくつかのサブグループに実施して、そのサブグループごとの特徴抽出を考える、という意味合いもあるし、また、「最小値｣分布という意味では、マルチプルテスティング問題の入り口という意味もある。

考え方１
- i番目が所属する部分集合の取り方は、k通り $_kC_1$
- i番がその部分集合中の最小値であるということは、その部分集合の残りの要素 n-1個がiより小さいN-i個の要素によって占められるということ。そのような取り方は $X(N-i,n-1)= _{N-i}C_{n-1}$ 、ただし、 $N-i<n-1$ のときは０
- i番が属する部分集合のn個の要素が決まった。このn個の並べ方は任意なので、その並べ方は $n!$
- 一方、残りのN-n個の要素はどうならべてもよく、その並べ方は $(N-n)!$
- すべての並べ方は $N!$ なので、
- i番目の値が、部分集合で最小となる確率は $￥frac{_kC_1 ￥times X(N-i,n-1) ￥times n! ￥times (N-n)!}{N!}$
考え方２
- N個からn個を選ぶ選び方は $_NC_n$
- 選ばれたn個が、i番目と、それより大きなn-1個とで構成されるような、n個の取り方は $1￥times X(N-i,n-1)= _{N-i}C_{n-1}$ 、ただし、 $N-i<n-1$
- ある部分集合において、i番目の値が最小である確率は $￥frac{1￥times X(N-i,n-1)}{_NC_n}$
- k個の部分集合のどれで、この状況が成立してもよいので、i番目の値が、n個要素の部分集合中で1番になる確率は $k￥times ￥frac{1￥times X(N-i,n-1)}{_NC_n}$
考え方１と２で出た確率の式は簡単な式変形で同一であることがわかる。
部分集合の最小値の期待値は、i番目の値とその値が部分集合の最小値となる確率の積を、i=1,...,Nについて足し合わせて、部分集合の数で除した値になる。
たとえば、100要素があって、それに１から100までの順番が振られているとする。25要素ずつの４部分集合に分ける場合を考える。100要素がランダムに分けられた場合、１番が部分集合の最小値となる確率は１、2番のそれは0.7576、３番のそれは0.5720、４番のそれは0.4305、。。。４つの部分集合の最小値の期待値は、3.885である。逆に、４要素ずつの25部分集合に分けた場合には、１，２，３，４番が部分集合の１番になる確率は、1,0.9697,0.9400,0.9109...となり、25個の部分集合中最小値の期待値は20.2となる。
この計算を試すためのエクセルがこちら。・・・雑に作ってあって(説明が少ない)、しかも重いです。
順序統計→Wikipediaの記事