Population Attributable Risk - ryamadaの遺伝学・遺伝統計学メモ

SNPの場合
あるリスクアレルがあったときに、そのアレルがなかったら、疾患有病者のどれくらいの割合が今より減るだろうか、という値。
今、母集団を代表する集団としてコントロール群にてリスクホモ、リスクへテロの人数がHo,Heと観測され、そのRelative Risk〜オッズ比がr(Ho),r(He)と観測されたとする。また、~~ケース~~コントロール総人数Nを観測しているとする
このときPopulation Attrubutable Risk(PAR)は
$PAR=\frac{\frac{Ho}{N}(r(Ho)-1)+\frac{He}{N}(r(He)-1)}{\frac{Ho}{N}(r(Ho)-1)+\frac{He}{N}(r(He)-1)+1}$
この式の右辺の第１項はリスクアレルホモによる寄与分で、第２項はリスクアレルへテロによる寄与分である。
それぞれの項の分子は、ケースにおけるそのジェノタイプの比率に、そのジェノタイプの（OR-1)をかけてあり、これは、ケース全体で、それぞれのジェノタイプのリスクによる増加人数の比率を出している。その分母は、このジェノタイプによる増加分にを加えており、このアレルによるケースの増分がある状態を1(100％)としたときの、このリスクによる人数の増分の割合を算出するために除している。
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書き直し記事

homo hetero oppos-homo sum
case x y z w
cont X Y Z W
sum a b c N

とします。

OR(homo)=xZ/(Xz)
OR(hetero)=yZ/(Yz)

です。

今、ホモ　ヘテロ　逆ホモの集団での比率は、コントロール群の数字から計算するのが適切であるとして

X/W
Y/W
Z/W

とします。

今、逆ホモの個体が有病である割合をkとしますと、

Z/W * k がこの群に由来する有病者の割合です。
ホモの場合は

X/W * k*OR(homo)

ヘテロの場合は

Y/W * k*OR(hetero)

となり、都合、

Fraction(risk+)=X/W*k*OR(homo)+Y/W*k*OR(hetero)+Z/W*k

が有病者の割合です。
式変形しますと
Fraction(risk+)=X/W*k*(OR(homo)-1)+X/W*k+Y/W*k*(OR(hetero)-1)+Y/W*k+Z/W*k
=X/W*k*(OR(homo)-1)+Y/W*k*(OR(hetero)-1)+X/W*k+Y\W*k+Z/W*k
=X/W*k*(OR(homo)-1)+Y/W*k*(OR(hetero)-1)+(X+Y+Z)/W*k
=X/W*k*(OR(homo)-1)+Y/W*k*(OR(hetero)-1)+k
=k*(X/W*(OR(homo)-1)+Y/W*(OR(hetero)-1)+1)

一方、このローカスのリスクが存在しないとすると、このローカスに関して、全員が逆ホモと同じ有病率になると考えて、そのときの有病者の割合は

Fraction(risk-)=1 * k =(X+Y+Z)/W * k です。

従って、どのくらい増えたか、というと
Delta=Fraction(risk+)-Fraction(risk-)
=k*(X/W*k*(OR(homo)-1)+Y/W*k*(OR(hetero)-1))
です。

Deltaが、現実にいる有病者に占める比率(PAR)は

PAR=Delta/Fraction(risk+1)

と考えるのは、妥当そうですよね。

すると
PAR=k*(X/W*k*(OR(homo)-1)+Y/W*k*(OR(hetero)-1))/(k*(X/W*(OR(homo)-1)+Y/W*(OR(hetero)-1)+1)))
=(X/W*k*(OR(homo)-1)+Y/W*k*(OR(hetero)-1))/(X/W*(OR(homo)-1)+Y/W*(OR(hetero)-1)+1)