2010-01-04

モンティ・ホール問題

確率

モンティ・ホール問題(Wiki)
テレビの問題は次の通り
- ３つの袋があって、１つはあたり、２つははずれという。
- 今、１つの袋を選んだあとに、残りの２つの袋のうち、はずれの袋が捨てられた。
- はじめに選んだ袋と選ばなかった袋のうち捨てられなかった袋との２つを選びなおしてよいという。
- はじめに選んだ袋と選ばずに残った袋のそれぞれについてあたりの確率を求めよ。
場合わけ
- ３つの袋とあたりはずれの関係は３通りある
  - 1 0 0
  - 0 1 0
  - 0 0 1
今、第一の袋を選んだとする。
- 第１の場合
  - 1 0 0
  - 「私」はあたりの袋を持っている
  - 選ばれなかった２つの袋はともにはずれである
  - 選ばれなかった袋のうち、片方が捨てられる
  - 選ばれずに残った袋ははずれである
- 第２の場合
  - 0 1 0
  - 「私」ははずれの袋を持っている
  - 選ばれなかった２つの袋は片方があたりで片方がはずれである
  - 選ばれなかった袋のうち、はずれの方が捨てられる
  - 選ばれずに残った袋はあたりである
- 第３の場合
  - 0 0 1
  - 「私」ははずれの袋を持っている
  - 選ばれなかった２つの袋は片方があたりで片方がはずれである
  - 選ばれなかった袋のうち、はずれの方が捨てられる
  - 選ばれずに残った袋はあたりである
第１、第２、第３の場合の確率はそれぞれ1/3なので、はじめに選んだ袋があたりの確率は1/3で、選ばれずに残った袋があたりの確率は2/3
なんとなく、どちらも等しく1/2のように感じてしまう理由
- 場合わけ
  - 1 0 0
  - 0 1 0
  - 0 0 1
- 今、第１の袋を選んだとする
- 第３の袋を開いてみたら、はずれだったとする
- このときは、３つの場合のうち、次の２つの場合はありえるが、第３の袋があたりである場合が排除されるので、はじめに選んだ袋があたりの確率は1/2で、選ばずに残った袋があたりの確率も1/2
  - 1 0 0
  - 0 1 0
どこが違っていたのか、というと。
- 今、Ａさんが３つの袋から第１の袋を選んだとする。
- 次にＢさんが残った２つの袋から選んでよい立場とする。
- Ｂさんは、片方の袋の中味を確認してから、選んだ。
- ＡさんとＢさんとではどっちが有利か、有利・不利に差はないか、といえば、Ｂさんが有利。
- では、Ａさんが３つの袋から１つの袋を選ぶときに、１つの袋の中身を見てから選ぶとする。
- Ａさんが中味を見る袋があたりの確率は1/3で、そのときは、その袋を取る
- Ａさんが中味を見る袋がはずれの確率は2/3で、そのときは、それとは違う袋をとる。そのとき、あたりの袋を選ぶ確率は1/2
- なので、1/3*1+2/3*1/2=2/3の確率であたる
- Ｂさんは残りの２つの袋から選ぶ
- 片方の中味を見てから選ぶ
- Ａさんが中味をのぞいた袋があたりだった場合は、かならずはずれ(1/3*0)
- Ａさんが中味をのぞいた袋がはずれだった場合は、2/3の確率で、そのとき、Ｂさんに回ってきた袋が２つともはずれの確率は1/2で、あたりとはずれの袋が１つずつの確率は1/2。
- Ｂさんは中味を見て、それがはずれだったら、別の方を取るだろうし、あたりだったら、それを取るだろうから、Ｂさんに回ってきた袋が２つとも外れの場合は、Ｂさんがあたる確率は０、片方があたりの場合は、必ずあたる。なので、1/3*0+2/3*1/2*0 + 2/3*1/2*1=1/3
- この場合は、Ａさんが「先に中味を確認できた」ので有利だった。
- では、Ａさんだけ、中味を確認して、Ｂさんは中味を確認できないとすると・・・
- 1/3*0+2/3*1/2*0+2/3*1/2*1/2=1/6
- これは、Ａさんが選んだ後、ＢさんとＣさんとで平等に袋を引いている場合なので、(1-2/3)/2=1/6とも考えられる。