慣性の法則と速度・加速度 - ryamadaの遺伝学・遺伝統計学メモ

こちらから
空間中に曲線がある
曲線の上を速さの絶対値を変えながら、点が運動している
曲線上の曲線状な運動
曲線上の点ごとに座標(Moving frame 動標構)をとる(以下のように)
- 原点を曲線状の点とし
- 第１軸を速度方向とし
- 第２軸を加速度方向とし
- 第３軸を加速度の変化のうち、第１、第２軸で説明できない方向とし
- 以降、自由度数の軸までをそれ以前に定義した軸で説明できない方向とする
慣性の法則は、速度は変わらないことを基本とする、という法則
慣性の法則が成立する世界では、速度の変化には理由が必要となる
速度の変化は加速度
加速度には理由(源)が必要で、それが『力のようなもの』
１次元空間の重力落下運動を考える
- $x=-\frac{1}{2}gt^2$
- $\frac{dx}{dt}=-gt$
- $\frac{d^2x}{dt^2}=-g$ :定数
- $\frac{d^3x}{dt^3}=0$ :定数かつ０
- 空間にも時間にもよらずに定数gで加速度がある。これが『力のようなもの』。地球を忘れれば、「世界にgが一様に広がっている」ことになる
２次元空間の重力落下運動を考える
- $(x_1,x_2)=(vt,-\frac{1}{2}gt^2)$
- $\frac{d(x_1,x_2)}{dt}=(v,-gt)$
- $\frac{d^2(x_1,x_2)}{dt^2}=(0,-g)$ :定ベクトル
- $\frac{d^3(x_1,x_2)}{dt^3}=(0,0)$ :定ベクトル、かつゼロベクトル
- 空間にも時間にもよらずに定ベクトル(0,g)で加速度がある。これが『力のようなもの』。地球を忘れれば、「世界に(0,g)が一様に広がっている」ことになる
円周運動を考える
- $(x_1,x_2)=(cos(t),sin(t))$
- $\frac{d(x_1,x_2)}{dt}=(-sin(t),cos(t))$
- $\frac{d^2(x_1,x_2)}{dt^2}=(-cos(t),-sin(t))=-(x_1,x_2)$
- $\frac{d^3(x_1,x_2)}{dt^3}=(sin(t),-cos(t))=-\frac{d(x_1,x_2)}{dt}$
- $\frac{d^4(x_1,x_2)}{dt^4}=(cos(t),sin(t))=(x_1,x_2)$
- $\frac{d^k(x_1,x_2)}{dt^k}=\frac{d^{k_mod_4}(x_1,x_2)}{dt^{k_mod_4}$
- 時間によらずに $(x_1,x_2)$ による加速度がある。これが『力のようなもの』
- $(x_1,x_2)$ に $-(x_1,x_2)$ で表される力があるとき、 $(0,0)$ に力の源があると考えると、単純に説明ができる
「放っておくと円運動をする、の法則」があるとき、上記の「原点中心の力のようなもの」があるのが、「法則」であるから、そこからの逸脱に「理由」を探す必要がある
さて、曲線があったとき、「位置」「位置変化」「位置変化の変化」「位置変化の変化の変化」…がある
「法則」は何で、それからの逸脱を作る「理由」は何か
「法則」と「理由」は曲線表現(Moving frameと曲率のフレネ=セレ行列)のどこにどのように表れるか
同じく「法則」と「理由」は曲線の時間パラメタ表現のどこにどう表れるか
同じく「法則」と「理由」は変量関係式(ロトカ=ヴォルテラのような(こちら))のどこにどう表れるか
- 相互作用中心主義なら、最後の表現が最終解