2011-02-02

駆け足で読む『偏微分方程式』(スタンリー・ファーロウ)

駆け足で読むシリーズ教科書

偏微分方程式―科学者・技術者のための使い方と解き方

作者: スタンリーファーロウ,Stanley J. Farlow,伊理正夫,伊理由美
出版社/メーカー: 朝倉書店
発売日: 1996/12/01
メディア: 単行本
購入: 4人クリック: 46回
この商品を含むブログ (4件) を見る

第１部　入門
- 第１課　偏微分方程式入門
  - 偏微分方程式とは
  - 解き方リスト
    - 以下、たくさんある。ということは、一筋縄ではないということ
    - 変数分離
    - 積分変換
    - 座標変換
    - 従属変数の変換
    - 数値計算
    - 摂動法
    - インパルス応答法
    - 積分方程式
    - 変分法
    - 固有関数展開
  - 偏微分方程式の種類
    - 分類の基準のリスト
      - 階数
      - 独立変数の個数
      - 線形性
        
        線形偏微分方程式の基本型
        
        放物型:熱流や拡散
        
        双曲型:振動や波動
        
        楕円型:定常状態
      - 同次性
      - 係数の種類
第２部　拡散型の問題
- 第２課　拡散型の問題(放物型方程式)：例示
- 第３課　拡散型問題のいろいろな境界条件
  - 境界条件の３つの型
- 第４課　熱伝導方程式の導出
- 第５課　変数分離
  - ２変数について、右辺には片方の変数のみ、左辺にはもう片方の変数のみにする方法
  - 適用範囲に、「境界条件の制約(線形同次境界条件)」がある
- 第６課　非同次境界条件を同次境界条件に変換すること
  - 変数分離が必要とする条件「線形同次境界条件」を作って変数分離法に持ち込む
- 第７課　もっと複雑な問題を変数分離で解くこと
- 第８課　難しい方程式を簡単な方程式に変えること
  - 指数関数を入れたり…
- 第９課　非同次偏微分方程式の解法(固有関数展開)
  - 常微分方程式を解いて得られる関数の組み合わせに持ち込む
- 第１０課　積分変換(正弦変換と余弦変換)
  - 「問題」が易しくなるように「変換」して、易しい問題を解いて、元に戻す(逆変換する)
  - 変換する関数がkernel(核)
- 第１１課　フーリエ級数とフーリエ変換
  - 三角関数、複素数
- 第１２課　フーリエ変換およびその偏微分方程式への応用
  - 微分が積にかえられること
    - 「２つの関数の積の変換はそれぞれの関数を変換したものの積ではない」
    - 「関数の積」である関数の変換は、関数に「畳み込み処理」したものの変換である
      - $(f*g)(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty} f(x-\xi)g(\xi) d\xi$
        
        $\frac{1}{\sqrt{2\pi}}$ が出てくるあたりは、確率変数の同時分布とかと同じ(だろう)
  - 無限畳み込み
- 第１３課　ラプラス変換
  - 減衰因子がある
  - (ので)フーリエ変換より多くの関数の変換が可能
- 第１４課　デュアメルDuhamelの原理
  - 境界条件が時間の変数であるときに、境界条件をある条件(値)に固定した解がわかっていれば、任意の境界条件の解がわかる
- 第１５課　拡散問題における対流項
  - 対流は多数の分子の動き
第３部　双曲型の問題
- 第１６課　１次元波動方程式(双曲型方程式)
- 第１７課　波動方程式のダランベール解
  - うまく行く解
- 第１８課　ダランベール解(続)
  - 無限
  - 特性曲線
- 第１９課　波動方程式に関連した境界条件
  - ３種類の境界条件
    - 両端の変位を指定
    - 両端に加わる力を指定
    - 両端を弾性支持
- 第２０課　有限な弦の振動(定常波)
- 第２１課　梁の振動(４階の偏微分方程式)
- 第２２課　問題の無次元化
  - 物理から数学へ
- 第２３課　偏微分方程式の分類(双曲型方程式の標準形)
  - ２変数
  - 線形
  - ２階
- 第２４課　２次元と３次元の波動方程式(自由空間)
- 第２５課　有限フーリエ変換(正弦変換と余弦変換)
- 第２６課　重ね合わせ(線形システムの屋台骨)
  - 部分問題への分解
  - 変数分離・積分変換も重ね合わせの原理による
- 第２７課　１階の方程式(特性曲線法)
  - １階の偏微分方程式の解法は２階のそれにさほど役に立たない
- 第２８課　非線形１階方程式(保存方程式)
  - もっとも役にたつ偏微分方程式の１つが「保存方程式」
- 第２９課　連立偏微分方程式
  - 複数の変数
  - 複数個の方程式
  - 常微分方程式論では、１つの２階上微分方程式が１階の２元連立方程式に書き直せる
  - 高階の偏微分方程式が１階の連立方程式に書き直せるとき(そのような場合も少なくない)、線形代数処理になる
- 第３０課　太鼓の膜の振動(極座標の波動方程式)
  - ヘルムホルツの固有値問題
  - ベッセルの方程式
第４部　楕円型の問題
- 第３１課　ラプラシアン(直観的記述)
  - $\nabla^2 u =u_{xx}+u_{yy}$ ２次元直交直線座標(デカルト座標)
  - $\nabla^2 u = u_{rr} +\frac{1}{r}u_r +\frac{1}{r^2} u_{\theta \theta}$ ２次元極座標
  - $\nabla^2 u =u_{xx}+u_{yy}+u_{zz}$ ３次元直交直線座標(デカルト座標)
  - $\nabla^2 u = u_{rr} +\frac{1}{r}u_r + \frac{1}{r^2} u_{\theta \theta} +u_zz$ 　（３次元）円柱座標
  - $\nabla^2 u = u_{rr}+\frac{2}{r} u_r +\frac{1}{r^2}u_{\phi \phi} + \frac{\cot \phi}{r^2} u_{\phi} + \frac{1}{r^2\sin^2 \phi}u_{\theta \theta}$ (３次元）球座標
- 第３２課　境界値問題の一般的性質
  - 時間によらず、「空間に関してだけ変化する」現象
  - 楕円型境界値問題
  - 3つの境界条件
    - ディリクレ条件：境界での値が与えられる
    - ノイマン条件：境界での外向き法線方向の微分が与えられる
    - ロビン条件：２種の混合（ただし、特定の現象を考えるうえで適当な条件の作りになっている）
- 第３３課　円に対する内部ディリクレ問題
  - ポアソンの積分界
- 第３４課　円環領域におけるディリクレ問題
  - ディリクレ問題を解くのに適当な形リスト
    - 円の内部
    - 円環
    - 円の外部
    - 球の内部
    - ２つの球の間
    - ２直線の間（２次元）
    - ２平面の間（３次元）
- 第３５課　球座標に関するラプラス方程式（球面調和関数）
  - 独白「なるほど、ここで球面調和関数に至るわけですね…。ようやく枠組みが見えかけてきました」
- 第３６課　非同次のディリクレ問題（グリーン関数）
  - グリーン関数：インパルス応答関数
第５部　数値解法と近似解法
- 第３７課　数値解（楕円型の問題）
  - 偏導関数を差分で近似
- 第３８課　陽的差分法
  - ある時刻の解をそれ以前の時刻の解を使って陽に解く
  - 刻み幅を小さく
- 第３９課　陰的差分法（クランク-ニコルソン法）
  - 最大の時刻での解を求めるために連立方程式を解く
  - 刻み幅が陽的差分法より大きくできる
- 第４０課　解析解と数値解
  - 何がわかればよいか
  - 解析解なら、モデルとしてわかる部分が多い（かもしれない）
- 第４１課　偏微分方程式の分類（放物型の方程式と楕円型の方程式）
  - ２変数
  - ２階
  - 線形方程式
- 第４２課　モンテ・カルロ法（入門）
- 第４３課　偏微分方程式のモンテ・カルロ解
- 第４４課　変分法（オイラー-ラグランジュ方程式）
  - 汎関数（関数の関数）
  - 汎関数の最大化・最小化
- 第４５課　偏微分方程式を解くための変分法（Ritzの方法）
- 第４６課　偏微分方程式を解くための摂動法
  - 解が知られている問題を連続的に少しずつ変形する
  - 解も少しずつ修正する
- 第４７課　偏微分方程式の等角写像による解
  - 『2次元以上のユークリッド空間からユークリッド空間への写像』（ウィキペディア記事より）