いくつも起きる・何度も起きる〜二項分布

  • 複数の発生機会を考える
    • 複数の並列する発生機会を一度に観察する
    • 複数回の繰り返し発生機会の発生件数を観察
  • 経過時間での観察
    • 観測の仕方を分類する
      • 「こと」の回数を記録する
      • 「時刻」、「時刻の間隔」を記録する
    • 「こと」の回数を記録する方法
      • 単位時間を定め、その時間内に起きた回数を記録する
    • 「時刻」、「時刻の間隔」を記録する方法
      • ある指定した回数が起きるまでの単位時間数を記録する
      • 「時刻」「時刻の間隔」を集計する
        • 「1回起きるまでの時刻数」の場合には、3,2,1,2,1,1,1,となっている
        • 「2回起きるまでの時刻数」の場合には、5,3,2,となっている
  • 「ことの回数」を集計する
    • 001011011110000のような0,1の連なり
    • 複数の機会(時点)を束ねて、「単位機会(時点)数あたり」の生起回数を集計するなら(001)(011)(011)(110)(000)のように束ねて1,2,2,2,0のような「回数記録」にもできる
    • Rを使って、起きたか起きなかったかを記録する
      • 起きた件数を集計する
par(mfcol=c(3,3))

# 生起回数
N<-1000
# 生起時刻数
T<-10000

# ランダムに生起させ、正規時刻をXに納める
R<-sample(c(0,1),T,prob=c((T-N)/T,N/T),replace=TRUE)


# n時刻を1束にする
n<-100
R2<-matrix(R,ncol=n)
X<-apply(R2,1,sum)


fn<-density(X)
x<-fn[[1]]
f<-fn[[2]]
#plot(x,f,type="l",xlim=c(min(X),max(X)),main="probability function")
hist(X)
Fn<-ecdf(X)

F<-Fn(x)
plot(x,F,type="l",xlim=c(min(X),max(X)),main="cumulative distribution function")


plot(F,x,type="l",main="INVERSE cumulative distribution function")

S<-1-F
plot(x,S,type="l",xlim=c(min(X),max(X)),main="Survival function:1-F;DECREASING cumulative distribution function")

plot(S,x,type="l",main="INVERSE survival function:INVERSE DECREASING cumulative distribution function")

h<-f/S

plot(x,h,xlim=c(min(X),max(X)),main="hazard function")

H<--log(S)
plot(x,H,xlim=c(min(X),max(X)),main="cumulative hazard function")
par(mfcol=c(1,1))
    • Rを使って起きた時刻を記録する
      • 起きた時刻のデータから、起きた時刻の間隔を集計する
par(mfcol=c(3,3))

# 生起回数
N<-100000
# 生起時刻数
T<-10000000

# ランダムに生起させ、正規時刻をXに納める
X<-sort(sample(T,N))


# n回起きるまでの時間間隔
n<-10
# 生起時刻の間隔は「差」をとればよい
X<-diff(X,n)

fn<-density(X)
x<-fn[[1]]
f<-fn[[2]]
plot(x,f,type="l",xlim=c(min(X),max(X)),main="probability function")

Fn<-ecdf(X)

F<-Fn(x)
plot(x,F,type="l",xlim=c(min(X),max(X)),main="cumulative distribution function")


plot(F,x,type="l",main="INVERSE cumulative distribution function")

S<-1-F
plot(x,S,type="l",xlim=c(min(X),max(X)),main="Survival function:1-F;DECREASING cumulative distribution function")

plot(S,x,type="l",main="INVERSE survival function:INVERSE DECREASING cumulative distribution function")

h<-f/S

plot(x,h,xlim=c(min(X),max(X)),main="hazard function")

H<--log(S)
plot(x,H,xlim=c(min(X),max(X)),main="cumulative hazard function")
par(mfcol=c(1,1))
  • n回の機会にk回起きる確率は二項分布
    • \begin{pmatrix}n\\k\end{pmatrix}p^k (1-p)^{n-k}
n<-50
k<-0:n
p<-runif(1)
f<-dbinom(k,n,p)
plot(k,f,type="h")