起きるまでの回数が知りたい〜幾何分布・負の二項分布

  • n回目の試行で初めて1回目が起きる確率は?
    • P(n)=(1-p)^{n-1}p
    • これは幾何分布
      • 幾何分布では、P(n+1)=(1-p)\times P(n)のように、「幾何」級数的に確率が小さくなる
    • また、S(k)=\sum_{i=0}^k P(i) = 1-(1-p)^{k+1}なので、確かに\lim_{k\to \infty}S(k) = 1となっていて、P(n)は確率密度分布の要件を満たしている
n<-1:20
p<-runif(1)
f<-dgeom(n,p)
plot(n,f,type="h")
  • n回目の試行で初めてk回目が起きる確率は?
    • 累積することで初めて意味を持つような事象の生起確率の分布
    • \begin{pmatrix}n-1\\k-1\end{pmatrix} p^k (1-p)^{n-k}
    • これは負の二項分布
k<-10
n<-0:100
p<-runif(1)
f<-dnbinom(n,k,p)
plot(n,f,type="h")
sum(f)
      • 幾何分布は負の二項分布のk=1の場合
n<-1:20
p<-runif(1)
f<-dgeom(n,p)
plot(n,f,type="h")
#負の2項分布のk=1の場合が幾何分布
k<-1
f2<-dnbinom(n,k,p) 
plot(f,f2)