球面上の減次元球と減次元正単体

  • k次元球は、k次元空間にあって、ある点からの距離が等しい点の集まり
    • 距離が1であるような点の集まりはk次元単位球。簡単のために原点を中心とする
  • k次元球面にk+1個の点を取って、k+1個の頂点座標ベクトルのどの2つをとってもその成す角が等しくなるように配置することができて、それはk次元空間にあるk-正単体と呼ばれる
  • k次元単位球の球面はk-1次元多様体である
  • k次元単位球のある点から等距離にある点でk次元単位球面上の点でもある点の集合は、k-1次元多様体上のk-1次元球面をなす
  • このk-1次元多様体上のk-1次元球面上に(k-1)+1=k個の点を配することができて、このk個の頂点から2点をり、その「k-1次元多様体上のk-1次元球の中心からのベクトルについて、その成す角を考えたとき、この角がどの2点ペアについても等しくなるように配置することができる
  • これは、k-1正単体の頂点となっている
  • また、このk-1次元多様体上のk-1次元球面に頂点を置くk-1正単体の頂点を、元のk次元空間の原点からの位置座標ベクトルで考えたとき、k個の頂点のどの2点をとっても、その位置座標ベクトルの成す角はやはり等しい
SimplexOnSphere<-function(df,t){
	center<-c(1,rep(0,df-1))
	X<-CategoryVector(df)*sqrt(1-t)
	cbind(rep(sqrt(t),df),X)
}
k<-4
t<-0.9^2
X<-SimplexOnSphere(df=k,t=t)
# 第一座標がsqrt(t)になっている
X
# k次元単位球面上の点だからノルムは1
apply(X^2,1,sum)
# 第一座標を除いたk-1次元で考えても球面上の点
apply(X[,2:k]^2,1,sum)
# 関係を見ると、等しい関係
# 関係とは角度のこと
X%*%t(X)
# 中央の点との関係(角度)も等しい
X%*%c(1,rep(0,k-1))