中心からの距離と辺の長さの関係

  • k+1個の頂点を持つk正単体の1辺の長さをrとし、中心と頂点との距離をxとする
  • 中心と頂点を結ぶ頂点ベクトルを任意に2つとると、そのなす角tについて\cos(t)=-\frac{1}{k}なので、2つの頂点ベクトルが作る二等辺三角形(底辺が頂点を結ぶ三角形)について、正単体の中心から垂線を下すことで
  • \sin(\frac{t}{2}) = \frac{1}{2}\frac{r}{x}
    • \cos(t)=\cos^2(\frac{t}{2})-\sin^2(\frac{t}{2})を利用して
    • \frac{r}{x}=\sqrt{\frac{2(k+1)}{k}}
  • この値は、k=2のときに2、\lim_{k \to \infty}\sqrt{2}に収束する