駆け足で読む『群と表現』表現

• 4. 有限群の表現
• 群は、構成する元の間の決まり事
• 決まり事を「言葉」で言い表す代わりに、『数式』(様)の「形」を与える話
• 群の元を行列で表そう(表すことが『表現』)
• representation(Wiki(日),Wiki(英))
• 「代理」を立てる、という意味合いも強いか…
• 「見方」次第で、姿は変わる
• 「姿」が同一なら、その異同の判別は簡単だが、同一ではないときには、「言ってみれば同一」なのか「違うのか」が問題になるし、その方法についても問題になる
• また、「姿」を見ているから、全部を見ているか、一部を見ているかも問題になる
• 一部を見ているときには、「視点が違う」ということになるが、「まったく違う方向」から見ていて、「重なる部分がない」のかどうかも問題になる
• また、全部を見ることと、一部を見ることを問題にすれば、「一部の見方」をいくつか合わせて、「全部」に到達させているのかどうかも問題だし、そのときに、「無駄なく」積み上げているのかどうかも、気になりやすい点である
• これらの、「気持ち」を表すために、以下のような用語が登場する
  • 行列表現
  • 恒等表現
  • 忠実な表現
  • 既約表現・可約表現
  • 既約分解・直和
  • 同型
  • 直交性
• また、これらの特徴を「ごちゃごちゃ考えずに、機械的に処理するための道具立て」として
  • 表現に用いた行列の属性を使うことも便利
  • トレース
  • 正則性
  • 基底
  • 直積
• 群の表現に関して知られていること
  • 位数rの群Ｇの既約表現の個数nrは、類の個数ncに等しい
  • 同値でない、既約表現の次元数の２乗の和は群の位数rに等しい