ryamadaの遺伝学・遺伝統計学メモ

2013-05-09

メモ

多くの見慣れた・聞き慣れた確率分布は指数分布族のメンバーである
こちらがWikiで、こちらが日本語のサイト
どうして同じ族に属し、また「exponential」と冠されるかと言えば、このメンバーの確率密度関数が $f_X(x|\theta) = h(x)exp(\eta (\theta) T(x)-A(\eta))$ と表されるから
Wikiの表に沿って、これをやってみよう
- ２項分布の確率密度分布は $\begin{pmatrix} n\\x\end{pmatrix}p^x(1-p)^{n-x}$
- $f_X(x|\theta) = h(x)exp(\eta (\theta) T(x)-A(\theta))$ ：こちらを使うと、Wikiの表から、
- $h(x)=\begin{pmatrix}n\\x\end{pmatrix}$ : Base measure
- $\eta(\theta) = \log{\frac{p}{1-p}}$ : Natural parameter(s)
- $T(x) = x$ : Sufficient statistic
- $A(\eta) = -n\log{1-p}$ : Log-partition $A(\theta)$ で
- $f_X(x|\theta) = \begin{pmatrix}n\\x\end{pmatrix}exp( \log{\frac{p}{1-p}}x+n\log{1-p})$ となるが、これは
- $f_X(x|\theta) =\begin{pmatrix}n\\x\end{pmatrix}(\frac{p}{1-p})^x(1-p)^n$ となって、確かに同じ
nカテゴリあって、その確率の和が１になるようなものも、式変形することで、指数分布族に含まれることがわかる。ちらの第３ページ

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