3 Quaternion Fourier Transforms ぱらぱらめくる『Quaternion Fourier Transforms for Signal and Image Processing』

  • 普通のフーリエ変換では、\int f(t) e^{-iwt} dtと表せて、純虚数iが用いられる
  • 四元数フーリエ変換ではiの代わりに、単位純虚四元数が用いられる。純虚四元数はいろいろなものが取れてしまうわけであるので、一意には決まらない
  • 今、ある四元数関数をsimplex/perplex分解(f(t) = f_s(t) + \mu f_p(t))すれば、両成分は相互に直交なので、別々に分解処理(普通の複素数フーリエ変換)できる
  • 普通のフーリエ変換との違いは、積がnon-commutativeであること。だからf(t)e^{iwt}e^{iwt}f(t)とは違うことから、それに付随する諸定義の変更が発生する。また、普通のフーリエ変換と逆変換のときは、符号について(たとえ間違っていても相殺されることが多いので)いい加減に扱っても問題が生じないが、四元数フーリエでは影響が生じる(ことが多くなる)ので要注意
  • 特に、畳み込み、関数相関の計算には要注意
  • 対称性のこと
    • 普通のフーリエ変換で、cos,sinとに分けるというのは、原点を中心に正負で対称か反対称かということに相当する
    • 四元数フーリエ変換の場合は、虚・実での対称・反対称、時間の正負での対称・反対称を考慮することになる
  • 二次元の対称性、対称x対称、対称x反対称、反対称x対称、反対称x反対称の4パターンに分解される
  • 四元数の指数関数にもnon-commutativeの影響から、e^(x+y)\ne e^x e^yという関係があり、e^x e^y,e^ye^x,e(x+y)のそれぞれを区別する、というバリエーションが生じ、さらにe^xe^yによってe^x f(.)e^yと言うサンドイッチバリエーションなども生じて、ごちゃごちゃしてくるけれど、そのごちゃごちゃが、解析上の強み(になるので我慢)