2019-01-16

古典確率空間と代数的確率空間

自由確率論量子確率論 *-代数非可換環論測度論確率空間確率変数

こちらで自由確率論・量子確率論というのを勉強するために少し書いた
こちらの文書を読んでいたのだが、「古典確率空間」と「代数的確率空間」との関係が理解できなくて全く前に進めなくなった。同文書の冒頭に『.代数的確率空間は, 古典確率論における確率空間を捨象し, 確率変数のなす (可換) 代数と平均値 E のもつ性質を抽象することで得られる概念である』とあるのだが、さっぱり解らなかったが、この表現の中にある『捨象し』が重要であるらしかった。『捨象し』っていうのは、「同じ確率空間という単語を使っているけど、表している対象に対応がとれるようなタイプの拡張ではなくて、大きなくくりでは共通するが、違いが大きいものとして捉えなおせ」ということを言っているようだ
以下、その線に沿っての(現時点での)理解を書く
古典確率空間っていうのは、確率変数を定義することができる「場所」のようなもの
- 「なにが起きた、かにが起きた」というときの「なに」「かに」を全部集めた $\Omega$ があって、
$\Omega$ には、どことどこはどんな風につながっているのか、つながっているからにはそれを $\Omega$ の部分集合として定められるよ、というような位相構造がある。 $\Omega$ が有限離散要素の集合のときには、それぞれの要素に「有限の広さ」があるが、 $\Omega$ が連続空間のときには、各点の「広さ」は無限小である。 $\Omega$ の部分集合として初めて「広さ」が定まるようになる。これが $\sigma$ 加法族な構造
さらに、 $\Omega$ の部分集合について $[0,1]$ なる実数が対応づいている
この構成が古典確率空間
この古典確率空間には、 $\Omega$ の部分集合にどのくらいの実数値を対応付けるかという写像を定めることができて、確率変数とは、この写像として定義できる
大雑把に言うと、「古典確率空間」は古典的な確率変数を関数として定義する条件をそろえた環境のようなもの
さて。代数的確率空間の方は？というと
まず、古典確率空間・古典的確率変数と代数的確率空間との関係がどうなるかを見てみたい
代数的確率空間では、*-代数がある。これには構成要素とそれらが満足する演算規則があるわけだが、この*-代数の要素は、古典的確率変数が対応し、*-代数は、古典的確率変数の(ある種の)集合が対応する
したがって、古典確率空間では、古典的確率変数を写像として表す場が「空間」であったが、代数的確率空間では、古典的確率変数が*-代数の集合に対応している点が違う。前者は、古典的確率変数が「空間に広がっている」のに対し、後者は、古典的確率変数が「空間の要素(点)」になっている
代数的確率空間では状態と呼ばれる「空間」を複素数に対応付ける写像があるが、古典的確率変数をその期待値に対応付ける写像は、この「代数的確率空間の状態」であることが知られている
また、これからわかるように、代数的確率変数は、代数的確率空間の*-代数の要素のことである
そしてこのモーメント列を比較すれば、古典確率変数としての異同もわかる、という意味で、モーメント列は古典確率変数の本質を担っている
さて。代数的確率変数の場合にも、このモーメントが存在し、大事な役割をするが、ちょっと複雑になる
- その理由の１つ目は、古典確率変数で $a^2$ というのを考えるとき、 $a \times a$ を考えているわけだが、これを、代数的確率変数に拡張しようとしたとき、 $a \times a^*$ と $a \times a$ との２つに区別することができるためである。なぜなら、古典確率変数では $a = a^*$ であるから $a \times a = a \times a^*$ であるからである
- その理由の2つ目は、掛け算の順序の問題である。古典確率変数では、 $a \times b = b \times a$ であるから、 $a^k$ を考えるとき、 $k$ の値だけが問題となる。他方、代数的確率変数では、 $a \times a^* \ne a^* \times a$ であるので、 $a$ もしくは $a^*$ をいくつ掛け合わせたかを考えるときに、 $a$ の個数と $a^*$ の個数のみを区別すれば事足りるわけではなく、 $a$ と $a^*$ とが作る順列の数の場合わけが必要だからである
- このように、モーメントとして扱う量が多くなる(それを混合モーメントと呼ぶ)が、混合モーメントは代数的確率変数は重要で、混合モーメントがすべて等しい２つの代数的確率変数は、「同じ～確率同値」と言う