確率・確率密度の理論的基礎のための用語

• はじめに
  
  • ここまでが基本で、ここに出てくる確率密度に関する理論的考察には次に上げるような用語が用いられる
  • これらは「測度論」の範疇である
  • このブログページでは、「どういう意味」という部分に重点を起き、表現の厳密性はある程度犠牲にする
  • 表現の厳密性を確保するには、定義・数式が必要で、定義が定義を呼ぶ書き方になるので、それは、Wikipedia,Planetmathの記事へのリンクで確保することとする
• Probability space(確率空間)
  
  • Measure space(測度空間)の１つで、次の条件を満たすもの
    
    • 全事象に対応するMeasure(測度)の総和が１となる
      
      • 確率密度関数の総積分値が１であることからもわかるとおり、確率空間におけるmeasure(測度)が確率密度に相当する
• Measure(測度)、Measurable space(可測空間)、Measure space(測度空間)
  
  • ３者の関係
    
    • Measure space = {Measurable space, Measure}
  • 確率空間との対応
    
    • Measure(測度):確率密度関数
    • Measurable space(可測空間):標本集合と事象集合
    • Measure space(測度空間):確率空間そのもの
• Measure space(測度空間)
  
  • 標本の集合、事象の集合、関数の３つからなる
  • 関数は事象の集合の要素に値を対応づけるもの
  • 事象の集合の要素に対応付けられる値は、無限大を含む実数集合の数値のうち0以上のものとする(確率空間で確率密度が0以上であることと対応している)
  • 事象集合の要素についてAdditive(加算的)である
• Measurable space(可測空間)
  
  • Measurable space(可測空間)は集合 S と、S の要素に１対１対応する S 上の集合 X とからなる
  • 集合 S と、S 上の完全加法族の組 (S, X) がmeasurable space(可測空間)
• Measure(測度)
  
  • Measurable spaceにはなくて、Measure spaceにはあるもの
  • 確率空間における確率密度関数に相当する
• Lebesgue measure(ルベーグ測度)
  
  • 代表的なmeasureの１つ