射影幾何の図

幾何アプリケーションシンデレラで射影幾何の参考図を描く。リンクはこちら。

ブログに提示している参照図は、３次元空間の３軸(ｘ、ｙ、ｚ）について、原点から３軸すべてについて正の方向にある、８分の１象限についての図である。これを、３軸のそれぞれについて、正・負の両方の無限遠点を考慮すると、ｘの正負の無限遠点が２つ。ｙについても２つ、ｚについても２つの計６つの点が無限遠点としてとれる。その内部には、参照図のように、立方体がひしゃげた形が、８個の象限のそれぞれに作れる。この８個の立方体はユークリッド座標で描けば、８個合わさって１つの立方体を形作るのであるが、射影座標では、それぞれの８象限で異なる方向にひしゃげるので、(0,0,1),(0,0,-1),(0,1,0),(0,-1,0),(1,0,0),(-1,0,0)の６点がとんがった24面体が出来上がる。複素同次座標を用いて厳密な作図ができるシンデレラで、その作図が確かに正しくできるかどうかを８象限のうち３象限について行って描いた図がこちら。ウェブ・インターラクティブに表示できると少しは理解しやすい図にできるのだが・・・。ただし、ｘ軸の正負の無限遠点はこの図では異なるが同一の点であることになっている。

各象限には、３つの無限遠点によって囲まれた三角形が出来上がるが、これは３軸ベクトルが定めるある方向の無限遠の集まりである。したがって、無限遠点は、８つの三角形が張り合わされた８面体を形成する。

本当は、無限遠も有限世界も球で表せばよいのだが、それだとわかりにくいので。

シンデレラはこちら。