P値を昇順ソートしたときのその期待値について - ryamadaの遺伝学・遺伝統計学メモ

12月5日の記事(こちら)に、N回の独立検定を行ったときに得られる最小P値の期待値が $￥frac{1}{N+1}$ となることを示した。今日の記事では、同様に行ったときに得られる、第k番目に小さいP値の期待値が $￥frac{k}{N+1}$ となることを示す。

均一な確率密度分布は $U(x)=1;0￥le x ￥le 1$ で与えられる。
N回の独立サンプリングをしたときに $￥alpha$ 以下の値がk回以上起きる確率は、 $P(k,￥alpha)=1-￥sum_{i=0}^{k-1}_NC_i ￥alpha^{i}(1-￥alpha)^{N-i}$ にて与えられる。これに関する記事は(記事はこちら)
今、N試行中、が第k番目であるということは、以下の試行がk回以上であって、以下の試行がk-1回であると言い換えられる。そのような確率は
- $P(k,￥alpha)-P(k,￥alpha-￥Delta ￥alpha)$ と表され、その極限をとればよい
したがって
- $Pr(k_{th}=￥alpha)=P(k,￥alpha)’$
- $=￥sum_{i=0}^{k-1}$ $_NC_i (-i￥times ￥alpha^{i-1}(1-￥alpha)^{N-i}+(N-i)￥times ￥alpha^{i}(1-￥alpha)^{N-i-1})$ がその確率である。ただし、 $i=0,N$ の場合は異なる式で表されるが、より簡単に以下のことが示されるので、省略する。
N回独立試行の最小値の期待値は、
- $Exp(k_{th}) = ￥int_{0}^{1} ￥alpha ￥times Pr(k_{th}=￥alpha) d￥alpha$ で表される。式変形すると
- - の各項がいずれもとなることを以下に示す。
    - ベータ関数 $B(x,y)=￥int_{0}^{1} t^{x-1}(1-t)^{y-1}dt$ , $(x ￥gt 0,y ￥gt 0)$ は、自然数 $x,y$ について、 $B(x,y)=￥frac{(x-1)!(y-1)!}{(x+y-1)!}$ なる性質があるから
    - $￥int_{0}^{1} ( _NC_i ￥alpha ￥times (-i￥times ￥alpha^{i-1}(1-￥alpha)^{N-i}+(N-i)￥times ￥alpha^{i}(1-￥alpha)^{N-i-1})) d￥alpha$
    - $=￥frac{N!}{i!(N-i)!}(-i￥times ￥frac{(i+1-1)!(N-i+1-1)!}{(i+1+N-i+1-1)!} + (N-i)￥times ￥frac{(i+2-1)!(N-i-1)!}{(i+2+N-i-1)!})$
    - $=￥frac{N!}{i!(N-i)!}(-i￥times ￥frac{i!(N-i)!}{(N+1)!} + (N-i)￥times ￥frac{(i+1)!(N-i-1)!}{(N+1)!})$
    - $=￥frac{N!}{i!(N-i)!}￥frac{i!(N-i-1)!}{(N+1)!}(-i(N-i)+(N-i)(i+1))$
    - $=￥frac{N!}{i!(N-i)!}￥frac{i!(N-i-1)!}{(N+1)!}￥times (N-i)$
    - $=￥frac{(N-i)}{(N-i)(N+1)}$
    - $=￥frac{1}{N+1}$

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