SNPデータ解析の場合のトレンドテストとHWEの関係覚書

SNPジェノタイプのケースコントロール２ｘ３分割表を考える。

	AA	AB	BB	sum
case	g10	g11	g12	P_1
case	g20	g21	g22	P_2

では $￥frac{A_0B_0}{2(N(G_0+G_2)-(G_0-G_2)^2)}=1$ とはどういう関係かというと、この式変形をすることで $G_1^2=4G_0G_2$ なる関係を満たしている場合であることが得られ、これは、 $G_0=x^2,G_1=2x(1-x),G_2=(1-x)^2$ なる $x$ が存在するときのことであり、HWEが成立しているときに他ならない。

total

G_0

G_1

G_2

なる２ｘ３分割表がある。

これから、アレル本数を比べた２ｘ２分割表を作ると

	A	B	sum
case	A_1	B_1	2P_1
case	A_2	B_2	2P_2
total	A_0	B_0	2N

となる。ただし、 $A_1=2g10+g11,B_1=2g12+g11,A_2=2g20+g21,B_2=2g22+g21$ であるっものとする。

今、トレンドカイ自乗統計量 $Y^2$ は

$Y^2=￥frac{N(N(g11+2g10)-P_1(G_1+2G_2))^2}{P_1P_2(N(G_1+4G_0)-(G_1+2G_2)^2)$

と書き表される。これは、6月1日の記事(こちら)の変数表記を上掲の表に合わせたものである。

これを適当に式変形することで次のような式が得られる。

$Y^2=￥frac{N(P_2A_1-P_1A_2)^2}{G_2A_0+G_0B_0}$

一方、上掲の２ｘ２分割表におけるカイ自乗統計量 $￥chi^2_p$ は

$￥chi^2_p=￥frac{(2N)(A_1B_2-A_2B_1)^2}{(2P_1)(2P_2)A_0B_0}$ となる(参考サイトはこちら)

ここで $B_1=2P_1-A_1,B_2=2P_2-A_2$ であることに注意すると

$￥chi^2_p=￥frac{(2N)(2P_2A_1-2P_1A_2)^2}{(2P_1)(2P_2)A_0B_0}$ が得られる。

$Y^2$ の式と $￥chi^2_p$ を比較することで

$Y^2=￥chi^2_p ￥times ￥frac{A_0B_0}{2(N(G_0+G_2)-(G_0-G_2)^2)}$ なる関係が得られる。

この式から、 $￥frac{A_0B_0}{2(N(G_0+G_2)-(G_0-G_2)^2)}=1$ であるとき、 $Y^2=￥chi^2_p$ なる関係にあることがわかる。

この関係式の検算に用いた(まったくのメモ)のエクセルはこちら

補足

書き方を変えると

$Y^2=￥chi^2_p ￥times (1+￥frac{A_0B_0-(2(N(G_0+G_2)-(G_0-G_2)^2)}{2(N(G_0+G_2)-(G_0-G_2)^2)})$

さらに式変形すると

$Y^2=￥chi^2_p ￥times (1+￥frac{G_1^2-4G_0G_2}{2(N(G_0+G_2)-(G_0-G_2)^2)})$

この式の分数部分の分母は正であるか $Y^2<￥chi^2_p$ となる。

分数部分の正負は、HWEからヘテロが増える方向へのずれの場合が正、ヘテロが減る方向へのずれの場合が負である。したがって、HWEからヘテロ増大側へのずれのとき、 $Y^2>￥chi^2_p$ 、ヘテロ減少側へのずれのとき、 $Y^2<￥chi^2_p$ 。階層化等の影響があるときはヘテロ減少側へずれるので、トレンドテストを用いることで、関連検定においてはより保守的な方向で正確な検定結果が得られることがわかる。