グラフィカルモデリング - ryamadaの遺伝学・遺伝統計学メモ

多変量解析の１手法にグラフを基にしたグラフィカルモデリングがある。
確率変数を頂点とするグラフ
確率変数同士は、独立であるか、条件付独立であるかによって、グラフ上での、つながり方が定められる
確率変数同士の関係を辺で表す
- グラフの辺には、無向と有向とがある
  - 無向辺は対称的関連(双方的因果関連)を表す
  - 有向辺は因果的関連を表す
- 無向辺と有向辺のうち、そのどちらを用いるか、両方を用いるかで、モデルのグラフは次の３タイプに分類される
  - 無向グラフ
  - 有向グラフ
  - 連鎖グラフ
グラフで表すことの意味
- グラフ理論におけるさまざまな概念・定義を用いることが可能になる
  - 隣接する頂点
  - 完全なグラフ
  - 部分グラフ
  - クリーク
  - パス
  - 連結する頂点
  - 境界
  - 閉包
  - 分離
  - 親と子
  - 有向道
  - 巡回閉路、巡回的、非巡回的
  - 先祖、子孫、非子孫、先祖集合
  - ルート、トレイル、道
  - 弦、弦のない道、スライド
  - 擬閉路、巡回擬閉路、閉路、巡回閉路
  - 部分巡回グラフ
  - 連鎖グラフ
  - 鎖
  - コンプレックス、サブウェイ
- グラフのマルコフ性
  - 対ごとのマルコフ性(Pairwise Markov Property)
  - 大域的マルコフ性(Global Markov property)
  - 局所マルコフ性(Local Markov property)
- 無向グラフ
  - 条件付独立構造を体現している
  - マルコフ性によって条件付独立性は評価される
- 非巡回有向グラフ
  - モラルグラフを構成することによって、無向グラフにおける条件付独立評価の枠組みで解釈する
  - d-分離基準によって判断できる
- 連鎖グラフ
  - 無向部分グラフが、非巡回有向グラフを成しているような構造を持つ
  - モラルグラフを導入できる
  - c-分離基準
その他
- 確率変数間の独立性・条件付独立性は、同時確率密度関数が、個々の変数の同時確率密度関数の積で表せることである
- グラフで表された確率変数は、そのマルコフ性により、同時確率密度関数が因数分解できる