カイ自乗値の作る等高線の形 - ryamadaの遺伝学・遺伝統計学メモ

カイ自乗値は一般に以下の形をしている
- $\chi^2=\sum_{i=1}^{k} \frac{\delta_i^2}{(\sqrt{exp_i})^2}$
- ここで、 $k$ は分割表のセル数、 $\delta_i$ は、各セルの観測値と期待値の差(観測-期待差)、 $\exp_i$ は期待値を表すものとする
- この形は $k$ 次元楕円である(k次元単位球を、各次元の方向に $\sqrt{exp_i}$ 倍、引き伸ばしたもの)
- 等しいカイ自乗値をとる $\{\delta_i\}$ は、 $k$ -次元楕円の表面の点である
観測数の周辺度数による制約
- 分割表においては、列・行それぞれにおいて、観測-期待差の和がゼロになるという制約があることから、上記のカイ自乗k-次元楕円のうち、 $\{delta_i\}$ がとりうる部分は、観測-期待差制約を満足する部分となる
- 分割表のときには、個の制約式があり、それぞれ、原点を通る次元平面に対応する
  - たとえば、 $2\times m=k$ 分割表の場合には、 $\delta_{i,1}+\delta_{i,2}=0$ という $k-1$ 次元平面や、 $\sum_{i=1}^m \delta_{i,1}=0$ という $k-1$ 次元平面などである
- 今、 $n\times m=k$ 分割表の自由度は $df=(n-1)\times (m-1)$ であるから、 $\{\delta_i\}$ は $df$ -次元空間に分布している。つまり、k-次元楕円と、複数のk-1-次元制約面との交点が、 $df$ -次元空間に分布していることがわかる
カイ自乗値の等高線
- 等しいカイ自乗値をとる点は、 $k$ -次元楕円の表面の点であるから、等しいカイ自乗値をとる点は、そのような、 $k$ -次元楕円殻と、観測-期待制約面との交点となる
多次元楕円については、こちらのページを
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分割表において
- $k$ -次元楕円を考える
- $\delta_{1,i}=\delta_{2,i}$ なる関係があるので、この場合のカイ自乗値は、 $\chi^2=\sum_{i=1}^{k} \frac{\delta_i^2}{(\sqrt{exp_i})^2}=\sum_{i=1}^m \delta_i^2\times (\frac{1}{exp_{1,i}}+\frac{1}{exp_{2,i}})=\sum_{i=1}^m \delta_i^2\times (\frac{exp_{1,i}+exp_{2,i}}{exp_{1,i}\times exp_{2,i}})$ となり、 $m$ -次元楕円になっていることがわかる。ここで、唯一のこされた制約 $\sum_{i=1}^m \delta_{1,i}=0$ を入れると、これは、 $m$ -次元楕円と、２次元平面との交点をなしていることがわかり、これは、 $m-1$ -次元である
- 今、すべてのセルの期待値が等しいとき、楕円は正円となり、この場合に、カイ自乗値の等高線はこの交差空間( $m-1$ -次元空間における)、 $m-1$ -次元球表面になる
- このの球表面上に配された個の点は、この-次元球表面に均等に配置されている
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