ryamadaの遺伝学・遺伝統計学メモ

2009-10-28

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等分単体等分単体

n次元ユークリッド空間に、相互に直交するn本の単位ベクトル $e_i$ を置き、 $v=\sum_{i=1}^n t_i e_i$ , $\sum_{i=1}^n t_i=1$ , $t_i>=0$ とすると、この部分空間はn-1次元である。
このn-1次元部分空間上に、相互に対称な、n本のベクトルを置くことを考える。
$c=\frac{1}{n}\sum_{i}^n e_i$ を中心とする。この $c$ を用いて、 $f_i=e_i-c$ を定めると、n本のベクトルが、n-1次元部分空間上に置ける。
さらに、このn-1次元部分空間上に、相互に直交する、n-1本のベクトルを置いて見たい。
$g_i=f_i-\frac{-1\pm \sqrt{n}}{n-1} f_n$ , $i=1,2,...,n-1$ というようにすると $g_i$ は相互に直交する。
成分で書くと・・・
第i番目の成分が $1-\frac{1}{\sqrt{n}(\sqrt{n} \pm 1)}$ 、 $\frac{1}{\sqrt{n}$ が第n番目の成分、残りが $-\frac{1}{\sqrt{n}(\sqrt{n} \pm 1)}$

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