分布をすこしずつ変える - ryamadaの遺伝学・遺伝統計学メモ

今日(２月２５日)は国公立大学の入学試験。春のような暖かさの中、緊張した顔つきの受験生が見えます。緊張することはいいことです。みんな、がんばって欲しいです。
わからないことがたくさんあって、それがわかることは素敵ですから、是非、大学へ！
さて。

指数分布っていうのがあります。 $f(x)=\lambda e^{-\lambda x}$ という形をしています。
正規分布っていうのもあります。平均が０のそれは、という形をしています。
- 正規分布を $f(x)=C \sqrt{\lambda} e^{-\lambda x^2}$ と書き換えます。
よく似ています。
- 指数分布が、『 $x$ が一定量増えたら、f(x)が $\frac{1}{e}$ になる』ようになっているのに対して、
- 正規分布は、『 $x^2$ が一定量増えたら、f(x)が $\frac{1}{e}$ になる』ようになっています。
また、指数関数部分の前に指数関数では $\lambda$ が、正規分布では $\sqrt{\lambda}$ が入っています。
両者の共通部分を抜き出して
- $f(x,k)=C e^{-\lambda x^k}$ とすれば、両方が同じ形式です。
- 「 $x^k$ が一定量増えたら、f(x)が $\frac{1}{e}$ になる』ような関数の一般書式です。
どちらも確率分布なので定義された範囲での積分が１になるように補正する項を入れれば、確率密度関数になりますが、今はそれを無視することにします。
また、 $\lambda$ も適当に伸び縮みさせる係数だとして、思い切って $\lambda=1$ で揃えます。
$k=2^{-10},2^{-9},....,1,2,...,2^{10}$ で描いてみます。
k=1のときは指数分布、k=2のときは正規分布の形。
kが0に近くなるとx=0のときだけf(x)=1で後は、 $1/e$
kが大きくなると、 $0\le x <1$ でf(x)=1、 $f(1)=1/e$ に収束していて、x>1ではf(x)=0。

L<-1
k<-seq(from=-10,to=10,by=1)
k<-2^k
x<-seq(from=0,to=5,by=0.001)
plot(x,L^(1/1)*exp(-L*x^1),type="l",ylim=c(0,1))
for(i in 1:length(k)){
 par(new=T)
 plot(x,L^(1/k[i])*exp(-L*x^k[i]),type="l",ylim=c(0,1))

}
abline(h=1/exp(1),col="red")