修理する３　行きつ戻りつのポアッソン過程〜酔歩

さて、ポアッソン過程のイベントが起きつつ、修理する系を考えたい
「修理」は「故障」が無いとできないのだが、そのような条件を考えるのは後回しにして、次のように簡単に考える
ポアッソンにイベントが起きる。起きたら、得点を１点増やす
ポアッソンに逆イベントが起きる。起きたら、得点を１点減らす
得点は、0点から始まって、増えたり減ったりを繰り返す
ある一定時間後の得点が何点であるかを考える
今、時刻tにおいて、得点が $v=-\infty, ...,-2,-1,0,1,2,...,\infty$ 点である確率を $P(v,t)$ とすると
は
- 時刻tのときに $\Delta t$ の間に得点がvでそのままのとき
- 時刻tのときに $\Delta t$ の間に得点がv-iでi点、加わるとき
- 時刻tのときに $\Delta t$ の間に得点がv+iでi点、減るとき
$\Delta t$ を十分に短くとれば、イベントも逆イベントもたかだか１回しか起きないようにできるだろう
そうすると
は、v,v-1,v+1の状態からの変化のみを考えればよい
- 時刻tのときに $\Delta t$ の間に得点がvでそのままのとき
- 時刻tのときに $\Delta t$ の間に得点がv-1で1点、加わるとき
- 時刻tのときに $\Delta t$ の間に得点がv+1で1点、減るとき
これを式で表そう
- $\Delta t$ の間に、イベントと逆イベントが起きる確率を $p\Delta t,q\Delta t$ とすれば
- １点、増える確率はイベントが起きて、逆イベントが起きない確率なので $p\Delta t \times(1-q\Delta t )$
- 増減のない確率は、イベントと逆イベントの両方が起きるか、両方とも起きない確率なので $p\Delta t \times q\Delta t + (1-p\Delta t) \times (1-q\Delta t)$
- １点、減る確率はイベントが起きずに逆イベントが起きる確率なので $(1-p\Delta t) \times q\Delta t$
の側から見れば
- $v-1$ の状態から１点、加わる確率と、 $v$ の状態から増減なしの確率と、 $v+1$ の状態から１点、減る確率との和になるので
- $P(v,t+\Delta t) = P(v-1,t)p\Delta t \times(1-q\Delta t ) + P(v,t) \times (p\Delta t \times q\Delta t + (1-p\Delta t) \times (1-q\Delta t))+P(v+1,t) \times (1-p\Delta t) \times q\Delta t$
を無視しえるとして差分を微分にすると
- $\frac{P(v,t+dt)-P(v,dt)}{dt} =\frac{dP(v,t)}{dt}= p P(v-1,t) -(p+q) P(v,t) + q P(v+1,t)$