修理する3 行きつ戻りつのポアッソン過程〜酔歩
- さて、ポアッソン過程のイベントが起きつつ、修理する系を考えたい
- 「修理」は「故障」が無いとできないのだが、そのような条件を考えるのは後回しにして、次のように簡単に考える
- ポアッソンにイベントが起きる。起きたら、得点を1点増やす
- ポアッソンに逆イベントが起きる。起きたら、得点を1点減らす
- 得点は、0点から始まって、増えたり減ったりを繰り返す
- ある一定時間後の得点が何点であるかを考える
- 今、時刻tにおいて、得点が
点である確率を
とすると
は
- 時刻tのときに
の間に得点がvでそのままのとき
- 時刻tのときに
の間に得点がv-iでi点、加わるとき
- 時刻tのときに
の間に得点がv+iでi点、減るとき
- 時刻tのときに
を十分に短くとれば、イベントも逆イベントもたかだか1回しか起きないようにできるだろう
- そうすると
は、v,v-1,v+1の状態からの変化のみを考えればよい
- 時刻tのときに
の間に得点がvでそのままのとき
- 時刻tのときに
の間に得点がv-1で1点、加わるとき
- 時刻tのときに
の間に得点がv+1で1点、減るとき
- 時刻tのときに
- これを式で表そう
の間に、イベントと逆イベントが起きる確率を
とすれば
- 1点、増える確率はイベントが起きて、逆イベントが起きない確率なので
- 増減のない確率は、イベントと逆イベントの両方が起きるか、両方とも起きない確率なので
- 1点、減る確率はイベントが起きずに逆イベントが起きる確率なので
の側から見れば
の状態から1点、加わる確率と、
の状態から増減なしの確率と、
の状態から1点、減る確率との和になるので
を無視しえるとして差分を微分にすると