ryamadaの遺伝学・遺伝統計学メモ

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分割表の位置・自由度・座標変換１　記載方法

分割表外積代数複体代数統計

こちらの書き直し
記載方法
- 表関係
  - $\mathbf{r}=\{r_1,r_2,...,r_k\};r_i \in \mathbf{Z}$ は、 $k$ 次元分割表の各次元のカテゴリ数の集合である
  - 表のセルの総数は $R=\prod_{i=1}^k r_i$
  - $k$ 個の尺度の集合を $A=\{a_1,a_2,...,a_k\}$ とする
  - 分割表は $k$ 次元アレイであるが、すべてのセルをベクトルで表すことにし、観測テーブルのベクトル、その期待値のベクトルを、それぞれ $\mathbf{T},\mathbf{E}$ とし、その差を $\mathbf{D}=\mathbf{T}-\mathbf{E}$ とすると、これらのベクトルは長さが $R$ である
- べき集合・組み合わせ関係
  - のべき集合をとする
    - $p_i=\{a_{i_1},a_{i_2},...,a_{i_{n_i}}\}$ のようにべき集合 $P$ の要素 $p_i$ は $n_i$ 個の要素を持つ
    - べき集合の要素数が $2^k$ であるのは、 $(1+x)^k=\sum_{i=0}^k \begin{pmatrix}k\\i\end{pmatrix}x^i$ であって、 $(1+1)^k=2^k=\sum_{i=0}^k \begin{pmatrix}k\\i\end{pmatrix}1^i$ だから
  - $R=\prod_{j=1}^k r_j$ を同様に考える
  - [tex:R=\prod_{j=1}^k *1]
    - これは $P_{ow}(A)$ の要素それぞれについて、そのカテゴリ数から１引いた数の積を取って、足し合わせた数が $R$ に一致する、ということ
    - $P_{ow}(A)$ の要素のそれぞれに、そのカテゴリ数から１引いた数の積だけ独立な変数を与え、すべての $p_i$ の変数を独立にとって併せれば、 $k$ 次元表の自由度になるから、うまく、表のセルの値を表現する変数セットとなることがわかる
- 正単体関係
  - 単体は $k \ge 1$ 個の点からなり、その点の集合のべき集合で定義される0,1,2,,,k次元面からなる
  - 単体は、k個の要素のすべての組み合わせからなる、とも言える
  - $k$ 次元空間にある正単体 $S_{k}$ は $k+1$ 個の頂点を持ち、すべての頂点は原点からの距離が1であるものとする
  - $S_k$ の頂点座標を $s_{i}^{(k)};i=1,2,...,n+1$ とする
  - $A=\{a_1,...,a_k\}$ という集合 $A$ の部分集合 $p_i=\{a_{i_1},a_{i_2},...,a_{i_{n_i}}\} \subset A$ が作る単体は $S_{p_i}=S_{\{a_{i_1},a_{i_2},...,a_{i_{n_i}}\}}$ と書くことにする
- 複体関係
  - 複体は単体が集まってできる
  - k個の要素のすべての組み合わせが含まれれば、それは単体であるから、単体ではない複体は、k個の要素のすべてではない組み合わせからなる
  - 複体には、単体が含まれるが、複体に含まれる２つの単体があって、片方の単体がもう片方の単体の部分集合である場合には、大きい方を認識しておけば、小さい方はそれが含まれていることは明らかである。したがって、包含関係にある単体のうち、最大のものとなるような単体を記載することで、複体を一意に取り扱える。このことを利用して、複体は次のように、最大化した単体の集合として表すことができる
  - $\Gamma = [a_1,a_2],[a_1,a_3],[a_2,a_3]$
  - これは３個の単体 $S_{\{a_1,a_2\}}=\{\phi,\{a_1\},\{a_2\},\{a_1,a_2\}\}$ , $S_{\{a_1,a_3\}}=\{\phi,\{a_1\},\{a_3\},\{a_1,a_3\}\}$ , $S_{\{a_2,a_3\}}=\{\phi,\{a_2\},\{a_3\},\{a_2,a_3\}\}$ からなる複体であって、べき集合の要素８個のうち、 $\{a_1,a_2,a_3\}$ のみが含まれないような複体である
  - $\Gamma=S_{\{a_1,a_2\}} \cap S_{\{a_1,a_3\}} \cap S_{\{a_2,a_3\}}$

*1:r_j-1)+1) = \sum_{p_i \in P_{ow}(A)} (\prod_{a_t \in p_i} (r_{a_t}-1

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