分割表の位置・自由度・座標変換1 記載方法

  • こちらの書き直し
  • 記載方法
    • 表関係
      • \mathbf{r}=\{r_1,r_2,...,r_k\};r_i \in \mathbf{Z}は、k次元分割表の各次元のカテゴリ数の集合である
      • 表のセルの総数はR=\prod_{i=1}^k r_i
      • k個の尺度の集合をA=\{a_1,a_2,...,a_k\}とする
      • 分割表はk次元アレイであるが、すべてのセルをベクトルで表すことにし、観測テーブルのベクトル、その期待値のベクトルを、それぞれ\mathbf{T},\mathbf{E}とし、その差を\mathbf{D}=\mathbf{T}-\mathbf{E}とすると、これらのベクトルは長さがRである
    • べき集合・組み合わせ関係
      • Aのべき集合をP_{ow}(A)=\{p_1,...,p_{2^k}\}とする
        • p_i=\{a_{i_1},a_{i_2},...,a_{i_{n_i}}\}のようにべき集合Pの要素p_in_i個の要素を持つ
        • べき集合の要素数2^kであるのは、(1+x)^k=\sum_{i=0}^k \begin{pmatrix}k\\i\end{pmatrix}x^iであって、(1+1)^k=2^k=\sum_{i=0}^k \begin{pmatrix}k\\i\end{pmatrix}1^iだから
      • R=\prod_{j=1}^k r_jを同様に考える
      • [tex:R=\prod_{j=1}^k *1]
        • これはP_{ow}(A)の要素それぞれについて、そのカテゴリ数から1引いた数の積を取って、足し合わせた数がRに一致する、ということ
        • P_{ow}(A)の要素のそれぞれに、そのカテゴリ数から1引いた数の積だけ独立な変数を与え、すべてのp_iの変数を独立にとって併せれば、k次元表の自由度になるから、うまく、表のセルの値を表現する変数セットとなることがわかる
    • 正単体関係
      • 単体はk \ge 1個の点からなり、その点の集合のべき集合で定義される0,1,2,,,k次元面からなる
      • 単体は、k個の要素のすべての組み合わせからなる、とも言える
      • k次元空間にある正単体S_{k}k+1個の頂点を持ち、すべての頂点は原点からの距離が1であるものとする
      • S_kの頂点座標をs_{i}^{(k)};i=1,2,...,n+1とする
      • A=\{a_1,...,a_k\}という集合Aの部分集合p_i=\{a_{i_1},a_{i_2},...,a_{i_{n_i}}\} \subset Aが作る単体はS_{p_i}=S_{\{a_{i_1},a_{i_2},...,a_{i_{n_i}}\}}と書くことにする
    • 複体関係
      • 複体は単体が集まってできる
      • k個の要素のすべての組み合わせが含まれれば、それは単体であるから、単体ではない複体は、k個の要素のすべてではない組み合わせからなる
      • 複体には、単体が含まれるが、複体に含まれる2つの単体があって、片方の単体がもう片方の単体の部分集合である場合には、大きい方を認識しておけば、小さい方はそれが含まれていることは明らかである。したがって、包含関係にある単体のうち、最大のものとなるような単体を記載することで、複体を一意に取り扱える。このことを利用して、複体は次のように、最大化した単体の集合として表すことができる
      • \Gamma = [a_1,a_2],[a_1,a_3],[a_2,a_3]
      • これは3個の単体S_{\{a_1,a_2\}}=\{\phi,\{a_1\},\{a_2\},\{a_1,a_2\}\},S_{\{a_1,a_3\}}=\{\phi,\{a_1\},\{a_3\},\{a_1,a_3\}\},S_{\{a_2,a_3\}}=\{\phi,\{a_2\},\{a_3\},\{a_2,a_3\}\}からなる複体であって、べき集合の要素8個のうち、\{a_1,a_2,a_3\}のみが含まれないような複体である
      • \Gamma=S_{\{a_1,a_2\}} \cap S_{\{a_1,a_3\}} \cap S_{\{a_2,a_3\}}

*1:r_j-1)+1) = \sum_{p_i \in P_{ow}(A)} (\prod_{a_t \in p_i} (r_{a_t}-1