離散問題の連続化

• こちらで方向統計学をぱらぱらめくっている
• ここに順列・パーミュテーション(n!)を(n-1)^2次元にある単位球面上に埋め込む話とそれを方向統計学と結び付けて、組み合わせ・離散問題を球面上の連続分布問題に結びつける話がある
• 状態空間で時間経過を過去の情報を使いながら予測するのにカルマンフィルタがある
• 順列が球面に納まっているので、どの順列に「今、いる」のかが時間とともに変化していく様子を追いかけて行くこととする
• カルマンフィルタでは、「ここらへん」というのに「正規分布」を用いるので、球面上には正規分布のカウンターパートであるvon-Mises Fisher分布を用いる
• 時間発展における更新は、「カルマンフィルタ〜隠れマルコフ」なので、球面上でも、「観察」→「隠された順列」→「おきるべき状態」→「次時刻の観察」→「隠された次時刻の順列」→…と確率的に追いかけて行く
• n!が(n-1)^2空間の球面に高度な対称性構造を取って納まる話が順列の埋め込み
• 同様に順列を空間配置したものにPermutohedronがあるが、こちらは次元が低い代わりに、エッジ数が圧倒的に少ない(参考記事)