積み上げる - ryamadaの遺伝学・遺伝統計学メモ

空間 $\Omega$ があって、そこの座標を $\mathbf{x}$ とする
多項事象 $Z=\{z_j\}$ があって、この空間に事象が観察されると $X=\{\mathbf{x}_i\}$ に $Y=\{y_i=z_{j_i}\}$ が得られる
ここで、個々の観察 $y_i=z_{j_i}$ 対して、それを $\mathbf{x_i}$ を中心とした正規分布で空間に起きたとみなせば、その総和は積分が検体数の分布を作る
この分布に照らすと、空間の任意の点には事象の種類数の長さの「生起回数ベクトル」が定まる
この生起回数ベクトルから、その座標での事象の生起確率の期待値が求められる
また生起回数ベクトルに応じてディリクレ分布をとれば、空間にディリクレ分布の、その分布が得られる。これは正規分布の取り方(と観察)による
今、この生起期待値(とディリクレ分布)に照らして、この観察の尤度を考えることにする
各座標での生起事象はわかっており、そこでの生起確率の期待値もわかっているから、それが尤度に影響することはわかる
正規分布の取り方の良しあしを評価するには、ここに、正規分布の取り方(１観察をどのような減衰状況で空間に広げるか)に関する軽重を入れる必要がある
その軽重は、「たくさんの観察が行われた座標」では重く、「ほとんど観察されていない座標」では軽くしたい
それは各座標での生起回数ベクトルとして計算されている
これを使って、「生起回数ベクトルの総和」の観察がなされて、その内訳がそのベクトルの要素である、としてしまうと、重すぎる
極端な例を考えてみる
空間の２座標にしか観察されず、そこに $N1,N2$ の観察がなされ、その事象の内訳がわかっているとき $\frac{(N1+1)!}{n_{1,1}! n_{1,2}!} p^{n_{1,1}}(1-p)^{n_{1,2}}$ というような分布(ベータ分布の場合)を考えるだろう。これは、ある座標に観測された $N1$ 検体の総和に相当する
では、これを個々の観察に分解すれば $(\frac{(N1+1)!}{n_{1,1}! n_{1,2}!} p^{n_{1,1}}(1-p)^{n_{1,2}})^{\frac{1}{N1}}$ としてその $N1$ 個の掛け合わせ、と考えてもよいだろうか
こうすれば、「生起回数ベクトル」をこの $N1,n_{1,1}$ 等に当て嵌めることで対応がとれるが…
さて、これの真偽は？？？