ryamadaの遺伝学・遺伝統計学メモ

2014-09-11

ロトカ=ヴォルテラの曲率符号

ロトカ=ヴォルテラの方程式は捕食・被捕食関係の方程式
１要素の量が(正、正)の四分域で周期的増減をする
$\begin{pmatrix} \frac{dx}{dt}=Ax + Bxy=x(A+By)\\ \frac{dy}{dt}=Cy+Dxy=y(C+Dx)\end{pmatrix}$ と書けて、 $A\times C < 0$ (どちらかは放っておけば増え、どちらかは放っておけば減る)という制約と $A\times B < 0$ , $C \times D <0$ (放っておいて増える方は、もう片方の存在によって減らされるし、放っておくと減る方は、もう片方の存在によって増える)という制約がある
今、この $(x,y)$ が描く二次元曲線を考える
曲線の進行方向ベクトルは $(\frac{dx}{dt},\frac{dy}{dt})$
この進行方向ベクトルの変化は $(\frac{d^2x}{dt^2},\frac{d^2y}{dt^2})$
今、この曲線上に立ち、進行方向を向いたとき、曲線が左に曲がるか、右に回るかは、進行方向ベクトルと進行方向ベクトルの変化量ベクトルのウェッジ積( $S=\frac{d^2x}{dt^2}\times \frac{dy}{dt} - \frac{d^2y}{dt^2}\frac{dx}{dt}$ )(がスカラーになるが)の符号で決まるので、それが、微分方程式の係数とどういう関係にあるかを、地道に調べてみる
[tex:\frac{d^2x}{dt^2} = \frac{dx}{dt}(A+By) + xB\frac{dy}{dt}=x*1]
$\frac{d^2y}{dt^2} = \frac{dy}{dt}(C+Dx) + yD\frac{dx}{dt}=y(Dx(A+By)+(C+Dx)^2)$
したがって
[tex:S=(x*2y(C+Dx))-(y(Dx(A+By)+(C+Dx)^2)x(A+By))]
$=xy(((A+By)^2+By(C+Dx))(C+Dx) - (Dx(A+By)+(C+Dx)^2)(A+By))$
$xy(B^2Cy^2+2ABCy-AD^2x - 2ACDx + A^2C-AC^2)$
$xy(C(By+A)^2-A(Dx+C)^2)$
今、A,Cの符号が逆ならば、この値は、非負、もしくは非正に限定する
これは曲線が、常に左回旋か右回旋することを示している

*1:A+By)^2+By(C+Dx

*2:A+By)^2+By(C+Dx

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