組み換え割合を対称的にパラメタ化する - ryamadaの遺伝学・遺伝統計学メモ

２座位(M1,M2)間の組み換え割合をとする
- これは、この２座位間で組み換えが起きる確率が $\theta_{12}$ で、起きない確率が $1-\theta_{12}$ ということ
- 最大値は、独立(染色体が違うとか)の場合で、0.5。
- 最小値は0。
この２座位の間に第３の座位Gを置く
- M1-G間とM2-G間の組み換え割合を $\theta_{1G},\theta_{2G}$ とする。
の間の関係は
- $\theta_{12}=\theta_{1G}(1-\theta_{2G})+\theta_{2G}(1-\theta_{1G})$
- これは、M1-G間で組み換えがおきたうえで、M2-G間で起きない場合と、M1-G間で起きずに、M2-G間で起きる場合の和です。
$\theta_{12}$ が既知のときに、 $\theta_{1G},\theta_{2G}$ の値をどのようにとるのがよいか、は、連鎖解析の位置推定の基本です。式があるので、 $\theta_{1G}$ をそのまま変数に使って、 $\theta_{2G}$ を既知の $\theta_{12}$ とともに表すことはできるけれども、非対象になるので、対称的にパラメタ化したい。
$\theta_{1G},\theta_{2G}$ について対称なので、対称にパラメタ化したい。
式変形をして
- $(0.5-\theta_{1G})(0.5-\theta_{2G})=0.25-\theta_{12}/2$
- ここで、 $0.5-\theta_{1G}=r cos(t) \ge 0$ 、 $0.5-\theta_{2G}=r sin(t) \ge 0$ と置けば(これは反比例グラフの式)、
- $r^2cos(t)sin(t)=r^2\frac{1}{2}sin(2t)=0.25-\thta_{12}/2$ なので
- 正負に気をつけて、 $r=\sqrt{\frac{0.5-\theta_{12}}{sin(2t)}}$
- したがって、以下のようにかけて、tの範囲は、を満足する範囲である。
  - $\theta_{1G}=0.5-\sqrt{\frac{0.5-\theta_{12}}{sin(2t)}} cos(t)$
  - $\theta_{2G}=0.5-\sqrt{\frac{0.5-\theta_{12}}{sin(2t)}}sin(t)$

theta12s<-c(0.01,0.05,0.1,0.2,0.3,0.4,0.45,0.49)
for(i in 1:length(theta12s)){
theta12<-theta12s[i]
x<-seq(from=0,to=1,by=0.0001)
t<-x*pi/2
theta1G<--sqrt((0.5-theta12)/sin(2*t))*cos(t)+0.5
theta2G<--sqrt((0.5-theta12)/sin(2*t))*sin(t)+0.5
range<-which(theta1G>=0 & theta2G>=0)
x<-x[range]
theta1G<-theta1G[range]
theta2G<-theta2G[range]
plot(theta1G,theta2G,xlim=c(0,0.5),ylim=c(0,0.5),type="l")
par(new=T)
}