*-演算、*-代数、量子確率論、量子力学、作用素、非可換作用素、不確定性原理、作用素環、非可換幾何

いくつかの資料
多元環は、ベクトルとか行列とか
そこに*-演算を入れる。複素数でうまく行く演算
多元環に*-演算を持たせると、*-代数
*-代数の中にC*-代数とかがある
量子確率論は、*-代数 A と、状態のペア $(A,\psi)$ とされる。古典確率論が $(\Omega,F,P)$ のトリオとされるのに対応する
$(A,\psi)$ のペアが決まると、Aの要素である $a \in A$ は確率変数となって、そのモーメント列が決まるという意味で、確率変数を決定する
ただし、モーメント列というとき、古典確率変数の場合は1,2,3,...次モーメントが決まるわけだが、量子確率変数の場合は、 $a a a^* a a^* ...$ のように、確率変数のk乗の概念が、 $a$ と $a^*$ との並べ方で代わって来るので複雑化する
なお、この「状態」というのは、なる写像のこと
- 状態の例としては、確率変数a が行列表現を持っているときに、そのトレース/次元を返すものや、あるベクトル $u$ があったときに $< u || au >$ として得られるものなどがある
一方、量子力学で物理量が作用素である、というのは、物理量の期待値が $< u || a u >$ として得られる、という意味
他方、物理量が行列の形をしているということは、 $ab \ne ba$ である(ことが一般的である)。このようなとき、「 $a$ と $b$ とは同時固有値を持ちえない」という話があるらしい、この同時に固有値が持てないから、同時に測定ができないということ(らしい）
スペクトルというのは、モーメント列に相当する(らしい)。したがって可換作用素のスペクトルというのは固有値と関連して定まって来る
非可換作用素のスペクトルはモーメント列の意味が変わって来るが、そのあたりをいじることで、非可換作用素同士の「環構造」を考えて、その構造を幾何で考えると非可換幾何

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