2010-10-26

■

Ｒマルチプルテスティング指数分布ワイブル分布ガウス分布極値分布Ｒマルチプルテスティング指数分布ワイブル分布ガウス分布極値分布

一番小さいｐ値
- n回の独立検定を考える
- その最小ｐ値の分布を考える
- ある値xより小さいｐ値が出ない確率は $(1-x)^n$
- 今、十分に小さいxを考えるとき、 $e^{-x}=1-x+\frac{x^2}{2!}-\frac{x^3}{3!}...$ の１次の近似 $e^{-x}=1-x$ を用いて、 $(e^{-x})^n=e^{-nx}$ となる
- 一方、ある確率変数yがに従うとき、なる関係にある変数は、なる分布をとることが知られている
  - これは、指数分布 $f(y)=e^{-y}$ をべき乗変換したと言えて、指数関数の一般化したものと考えることができる
  - また、この分布をワイブル分布と言う
$(e^{-x})^n=e^{-nx}$ から、 $a=1,b=\frac{1}{n}$ が得られるから、近似 $e^{-x}=1-x$ を仮定する限りにおいて、独立なn検定の最小ｐ値の分布は $f(x)=nx^0e^{-nx}=ne^{-nx}$ なる指数分布に従うことがわかる
それをＲで確かめる

n<-100
niter<-1000
m<-matrix(runif(n*niter),niter,n)
minp<-apply(m,1,min)
MINP<-rexp(niter,n)
plot(sort(minp),ylim=c(0,max(minp)))
par(new=TRUE)
plot(sort(MINP),ylim=c(0,max(minp)),type="l",col="red")
hist(minp)

これは、n個の部品があって、それが直列に並んでいて、１個でも故障したら全体が故障するようなシステムにおいて、個々の部品の故障確率がxであるようなときの、システム全体の故障確率の密度は $ne^{-nx}$ で近似できることを示している
ワイブル分布を導くにあたっては、こちらによれば、近似 $e^{-x}=1-x$ を利用した上で、極値分布を援用するらしい
このことを、ポアソン配置から考えてみる
- 今、何かしらの空間があるとする
- ポアソン配置とは、空間中にランダムに点を配置することである
- 今、単位体積あたりに $h$ なる濃度で分布するとする
- ここで、体積 $v$ には平均して $vh$ 個の点がある
- ポアソン配置なので、体積 $v$ の領域にある点の数 $k$ はポアソン分布に従うとみなすことができて、 $P(k|v,h)=\frac{(vh)^k}{k!}e^{-k}$ で表わされる
- ここまでの話では、この空間がどういう空間なのかを定義していない。定義したのは、「体積」があることだけである
- １次元ユークリッド空間ならば、直線、２次元なら平面、３次元なら空間、４次元なら。。。と広げられる
- ユークリッド空間に限る必要もない
- ここで、ある変数、を用いて、体積がと表わされる形があるとする(ただし、と表わされるようなものを考える。
  - １次元ユークリッド空間で、形として線分を考えれば、「体積」は長さで、 $y=t$ である
  - ２次元ユークリッド空間で、形として円を考えれば、「体積」は、 $y=2\pi t^2$ である
  - n次元空間の超球を考えれば $v=\frac{\pi^{\frac{n}{2}}}{\Gamma(\frac{n}{2}+1)}t^k$
  - n次元立方体なら $v=t^k$
- さて、どのような形にしろ、ある点を中心に $t$ によりだんだん大きくなるような形を考える。そのような形について、 $t$ になって、初めて、点が内部に認められる
- この確率は、 $\frac{k}{\beta}(\frac{t}{\beta})^{k-1} e^{-(\frac{t}{\beta})^k}$ , $\beta=(\frac{1}{b})^{\frac{1}{k}$ で与えられることが示せる( $e^{-s}=1-s+\frac{s^2}{2!}-\frac{s^3}{3!}...$ の２次以上の項を無視する近似を使う)
- これはワイブル分布と呼ばれる形
- (多次元)球を考えると、これは、配置されたある点から、別の最も近い点(最近接点)への距離の分布について考えることとなっている
- さて、話しを、最小ｐ値に戻す
  - 最小ｐ値を考えるにあたって、 $n$ 個の独立な検定は、原点を始点とする $n$ 本の直線と考えることができる
  - $x$ より小さいp値が配置される体積は、直線１本あたりの単位体積(長さ)のn本分(n倍)なので、 $v=n t$ と表わされる
  - ここから、今日の記事の前半で道いびいた $ne^{-nx}$ が導かれる
- 多分、大丈夫な展開・・・