ゲームとして現象を整理しなおす - ryamadaの遺伝学・遺伝統計学メモ

疾患をモデル化するときに、１人ゲームと２人ゲーム(とそれ以上の人数ゲーム)に分けるとする
１人ゲームとは、個体が、何かしらの条件を満足したときには、何かが起きるようなもの。多因子が重畳して(一次積み重ね)何かにいたる、というようなものや、複数要因がネットワークを成して、その結果として何かにいたる、というようなもの
２人ゲームとは、個体が何かをしているところに、それと戦うべき何か(外来微生物との戦い(感染症)、内在性だが、敵対関係になるもの(癌組織など)があって、相互に相手の手に応じて何かを返し、その敵の反応に対応する形で何かをし返すような形式の反応。遺伝形式・繁殖・伝搬などは、「敵」ではないけれども、個人１個で現象を記述しない点で、２人以上ゲームに相当(こちらに相当)。疫学で言うところの環境要因は、「外来」だけれども「やりとり」をするものとしてはあまり捉えないことが多い。だから「環境(静的なもの)」として取り扱うことが多いともいえる。
１人ゲームでは、関連要素を説明因子として、帰結を表す何かを従属因子とする。こちらの野球ゲームで、チームの得点分布を取るのは、この例。説明因子が得点分布とどういう関係にあるのかが知りたい
野球ゲームを対戦型にして、チーム１の得点の確率分布が、 $T=\{t_0,t_1,...,t_i,...\},\sum_{i=0}^{\infty} t_i =1$ 、チーム２の得点の確率分布が、 $S=\{s_0,s_1,...,s_j,...\},\sum_{j=0}^{\infty} s_j =1$ であるようなときの勝率( $\sum_{i=1}^{\infty} (\sum_{j=0}^{i-1} t_i \times s_j)$ を問題にする。グリコゲーム(こちら)もそう。
ちなみに、この式 $\sum_{i=1}^{\infty} (\sum_{j=0}^{i-1} t_i \times s_j)$ は

library(MCMCpack)
N<-5 # 1,2,3,4,5のカテゴリを取りうる
T<-rdirichlet(1,1:N) # チーム１の確率分布
sum(T) # 足して１になることの確認
S<-rdirichlet(1,(1:N)^2) # チーム２の確率分布
M<-t(T)%*%S # 対戦したときのパターン(N^2)通り別の確認
sum(M) # 足して１の確認
WinPr<-sum(M[upper.tri(M)]) # 勝率は上三角の和
JimichiSum<-0 # 上三角の和をループを使って地道に算出
for(i in 1:(N-1)){
 for(j in (i+1):N){
  JimichiSum<-JimichiSum+M[i,j]
 }
}
JimichiSum-WinPr # 同じこと(差が0であること)の確認