メモ - ryamadaの遺伝学・遺伝統計学メモ

昨日の続き
２つの多様体があって、それぞれが確率密度分布(のようなもの)であるとき
その２つの多様体が独立であるときには、２つの多様体の同時確率密度分布に相当する多様体は、もとの２つの多様体の次元がm1,m2であったとして、m1 x m2
そしてその疎密は、同時分布の積で定まるもの。m1 x m2次元の多様体の広さも、十分に膨らんでいる
２つの多様体が独立でないときは、同時確率密度分布に相当する多様体は、最も、つぶれた場合でmin(m1,m2)次元で、m1 x m2次元的な体積は０。密度は、min(m1,m2)次元空間で定義されるようなそれ(？？かな)。それほどのつぶれ方でないときも、「つぶれて」いるから体積のようなものが小さく(狭く)、密度が上がっている
第１の確率密度分布が次元 $m_1$ で $p_1(\mathbf{x_1})$ という確率密度分布を持つとする。ただし $\forall \mathbf{x_1}, p_1(\mathbf{x_1}) \ge 0, \int_{\mathbf{x_1} \in M_1} p_1(\mathbf{x_1}) d\mathbf{x_1} = 1$
また第２の確率密度分布が次元 $m_2$ で $p_2(\mathbf{x_2})$ という確率密度分布を持つとする。ただし $\forall \mathbf{x_2}, p_2(\mathbf{x_2}) \ge 0, \int_{\mathbf{x_2} \in M_2} p_2(\mathbf{x_2}) d\mathbf{x_2} = 1$
２つの確率密度分布が独立なら同時分布は $q_0(\mathbf{x_1},\mathbf{x_2}) = p_1(\mathbf{x_1}) \times p_2(\mathbf{x_2})$ , $M_{1,2} = M_1 \otimes M_2$
独立でないなら、 $q_0(\mathbf{x_1},\mathbf{x_2}) \ne p_1(\mathbf{x_1}) \times p_2(\mathbf{x_2})$
標本を見て、 $q_0,q_1$ のどちらなのかを考える、というのが検定
標本を見て、 $q_0,q_1$ の違いを定量するのが、相関指標の計算。ただし、もっとも強い相関は、 $q_1$ が $m_{1,2}=1$ なる(無限長の？)１次元多様体になっているとき
この方法で行くと、次のような例ができる。これは２つの元分布は一様分布で、相互の関係は、かたや１次元多様体になっていて、かたや２次元多様体になっている

n <- 10000
x <- runif(n)
y <- x
y[which(x>1/3)] <- 1-x[which(x>1/3)]
y[which(x>2/3)] <- x[which(x>2/3)]
# 独立な場合
y0 <- sample(y)

par(mfcol=c(2,2))
hist(x)
hist(y)
plot(x,y)
plot(x,y0)