2018-03-17

確率的に単位線分を分割し続けて作る Random Exchangeable Partitions

長さ１の単位線分をあるルールで確率的に分割していけば、それもRandom Exchangeable Partitionsとなる
Poisson-Dirichlet Processと呼ばれる方法がその一つで、よく研究されている
何度でも分割し続けるルールとして、単位線分から出発して、分割点を１点とり二分する。生じた２つの線分のうち片方(たとえば1に近い方)はそれ以上いじらないことにして、もう片方をまた二分する。これはいつまでも繰り返せる。この二分点の取り方として、ベータ乱数を使う方法は確率過程として扱いやすく、この方法をPoisson-Dirichlet Processと言う
ベータ乱数を発生させる元となるベータ分布としてとするという。ただしベータ乱数の発生に当たり、i回目ごとに用いるベータ分布のパラメタがに応じて変化するように設計されていることに注意。また、この定義の中で,の２つの場合は特殊形として、単純なモデルとして取り上げられることがある
- また $\alpha=0,\theta=1$ の場合は、 $Beta(1,1)$ になり、一様乱数での分割の繰り返しになる
Rでやってみる

theta <- runif(1)
alpha <- runif(1)

n.iter <- 100
beta <- rep(0,n.iter)
for(i in 1:n.iter){
	beta[i] <- rbeta(1,1-alpha,theta + i * alpha)
}
P <- rep(0,n.iter)
P[1] <- beta[1]
for(i in 2:n.iter){
	P[i] <- (1-sum(P[1:(i-1)])) * beta[i]
}

plot(P)

S <- cumsum(P)

plot(S,type="b",pch=20,cex=0.1,ylim=c(0,1))

- 特に $\alhap=0$ の場合は

theta <- runif(1)
alpha <- 0

n.iter <- 10
beta <- rep(0,n.iter)
for(i in 1:n.iter){
	beta[i] <- rbeta(1,1-alpha,theta + i * alpha)
}
P <- rep(0,n.iter)
P[1] <- beta[1]
for(i in 2:n.iter){
	P[i] <- (1-sum(P[1:(i-1)])) * beta[i]
}

plot(P)

S <- cumsum(P)

plot(S,type="b",pch=20,cex=0.1,ylim=c(0,1))

- また、 $\theta=0$ の場合は

theta <- 0
alpha <- runif(1)

n.iter <- 10
beta <- rep(0,n.iter)
for(i in 1:n.iter){
	beta[i] <- rbeta(1,1-alpha,theta + i * alpha)
}
P <- rep(0,n.iter)
P[1] <- beta[1]
for(i in 2:n.iter){
	P[i] <- (1-sum(P[1:(i-1)])) * beta[i]
}
plot(P)

S <- cumsum(P)

plot(S,type="b",pch=20,cex=0.1,ylim=c(0,1))

Poisson-Dirichlet Processの別の見方
- $\alpha=0,\theta$ での分割は、長さ１の線分を確率的ルールで分割していくものと読み取れる。Stick-breaking processと称される理由である
- 次のように中華料理店過程がある意味で(*)同じ分割をもたらす
- 中華料理店過程ではi+1番目の客が、i番目までの客の着席状態に応じて、新しいテーブルに1人で座るか、既に客の居るテーブルのどれかに座るかを決める、というルールで着席状態が変化していく過程である
- の場合には
  - $\frac{\theta}{i+\theta}$ の確率で新しいテーブルに着席し、 $\frac{m_j}{i + \theta}$ の確率でj番目のテーブルに着席するという確率過程のときに現れる整数分割(とそれに対応する単位線分分割)と同じであると言う。ただし $m_j$ はi人まで着席が終わったときのj番目のテーブルの人数であり、 $\sum_{j=1}^k m_j = i$ である。ここでkはi番目までの客で着席者の居るテーブルの数である
- の場合には
  - $\frac{k\alpha}{i}$ の確率で新しいテーブルに着席し、 $\frac{m_j-\alpha}{i}$ の確率でj番目のテーブルに着席する
- この中華料理店過程で得られるランダムな分割はexchangeableなランダム分割になっており、size-biased ordering of the asymptotic block frequeiciesがstick-breakingで得られるものになることが知られている。"size-biased"というのは、「ある誰かしらを特定して、その人が座っているテーブルの人数割合」を調べる場合に使う用語である。そのようにすると、テーブルの人数割合は、割合の大きいテーブルが割合に比例して選ばれるので、そのようにして得られる割合の分布は、割合で重みづいた分布となるのだが、この分割の分野では、この点を考慮することがよくある