行列のランク(駆け足で読む統計学のための数学入門30講 19)

• 第19講　行列のランク

• p次元ベクトル空間上のn個のp次元ベクトルがあるとする。このn個のベクトルの１次独立な最大数が、q[であるとすると、tex:q\le q]であり、であり、n個のベクトルは次元qのベクトル空間を張っている。このとき、pxn行列のランクと言う
• は、pxn行列なので、n次元ベクトルに左からかけることができる。n次元ベクトル全体に対してを左からかけてできるベクトルの集合は、n次元ベクトル全体を元としているが、なので、q次元の部分ベクトル空間に含まれるし、qとpの関係から、p次元空間に含まれる
  
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  • このことはpxn行列を用いて、n次元ベクトル空間上のすべてのベクトル[tex]\bf{x}]を次元ベクトル空間上のベクトルに変換している。これをはからへの写像を定めているという
  • n次元からp次元へと次元が小さくなる写像においては、n次元上の複数のベクトルがp次元上の単一のベクトルに写像されることがあり、また、n次元上のゼロベクトルでないベクトルがp次元上のゼロベクトルに写像されることがある。p次元ゼロベクトルに写像されるn次元ベクトルの集合を核(kernel)と呼び、と表す
  • 写像行列のランクとカーネルの次元とには次の関係がある
    
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  • 転置行列・直交補空間を用いると
    
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  • 行列ランクの性質
    
    • ただしはpxn行列
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    • が正則(相互に逆行列)なとき
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    • p次正方行列について、のとき、は正則(逆行列を持つ)

[tex:\bf{M(A)}=\{\bf{y}:\bf{y}=\bf{Ax}=x_1\bf{a_1}+x_2\bf{a_2}+\cdots+x_n\bf{a_n},\bf{x}\in\bf{R^n}\}\subseteq\bf{R^p}]

[tex:\bf{K(A)}=\{\bf{x}:\bf{Ax}=0\}\subseteq\bf{R^n}]