ガンマ関数とベータ関数(駆け足で読む統計学のための数学入門30講 11)

ガンマ関数とベータ関数は、一見、積分記号と指数関数をひねくって結合したように見えるが、特徴的な性質を持ち、しかもその性質ゆえに、統計学の検定に重要なガンマ分布・カイ自乗分布・ベータ分布・F分布と密接に関係している点で、１講をあてるに足る関数である

• ガンマ関数
  
  • その表記:
  • その性質
    
    • xは正の実数
    • 
    • nは自然数の場合
    • 
  • ガンマ分布・カイ自乗分布との関連
    
    • ガンマ分布
      
      • 確率密度関数はガンマ分布と呼ばれ、と表す
      
      
      • 指数分布はガンマ分布の１形態でである
      
      
      • ガンマ分布の平均(期待値)はで、分散はである
      
      
      • 自由度のカイ自乗分布の確率密度関数はガンマ分布であり、その平均はで分散はである
      
      
• ベータ分布
  
  • その表記:
  • その性質
    
    • 
    • 
    • (m,nは自然数)
    • ベータ分布・F分布との関連
      
      • 確率密度関数(0<x<1)はベータ分布と呼ばれる</li>
        
      • ベータ分布の平均(期待値)はで、分散はである
      
      
      • 自由度のF分布の確率密度関数はとなるが、なるyについて、yはに従う(はベータ関数)
      
      

[tex:\Gamma(x)=\int_{0}^{\infty}t^{x-1}e^{-t}\,dt (x>0)]

[tex:\Gamma(x+1)=\Gamma(x)]

[tex:\Gamma(1)=\Gamma(1)]

[tex:\Gamma(n)=(n-1)!] 

[tex:\Gamma(\frac{1}{2})=\sqrt{\pi}]

[tex:f(x)=\frac{\lambda^{\alpha}}{\Gamma(\alpha)}x^{\alpha-1}e^{-\lambda x} (x>0)][tex:G(\alpha,\lambda)]

[tex:G(1,\lambda)]

[tex:E(x)=\frac{\alpha}{\lambda}]

[tex:V(x)=\frac{\alpha}{\lambda^2}][tex:G(\frac{\phi}{2},\frac{1}{2}][tex:E(x)=\phi][tex:V(x)=2\phi]