順列(permutation)と組み合わせ(combination)、階乗、二項分布・多項分布(駆け足で読む統計学のための数学入門30講 3)
- 第3講 順列・組合せと二項定理・多項定理
- 順列
- 組み合わせ
- 2項分布
- とし、××である確率がとするとn個のうちk個が××である確率はと表される。今、xについて0からkまですべてを足し合わせるととなり、これも総和が1の確率分布であり、このような分布を2項分布と呼ぶ
- 多項分布
- 2項分布では、××か否か、をかかに分けたが、今、通りの場合があって、それぞれが起きる確率がであるとして、全体であるとすると、その個の事象がとなる確率はと表させる。の組み合わせについてすべてを足し合わせると、その総和は1になり、確率分布であることがわかる。このような分布を多項分布という。
- 期待値・期待値の分散
- ある興味の対象がある値をとるものとし、その値が2項分布や幾何分布のように、あれかこれか(離散的な値)をとるとすると、その離散的な値をとる確率がが知られているとすると、xがとりうるすべてのkについて足し合わせるととなる、また、は、xの値の期待値である。2項分布の場合には、xが起きる回数ということでとなることが式変形で示される。分散はで示せるが、これも式変形でとなる
- これらのテキスト表記は
[tex:_n\mathrm{P}_x=n(n-1)(n-2)\cdots(n-x+1)=\frac{n!}{(n-x)!}]
[tex:_n\mathrm{C}_x=\frac{_n\mathrm{P}_x}{x!}=\frac{n!}{(n-x)!x!}]
[tex:(a+b)^n=\sum_{k=0}^n_n\mathrm{C}_ka^kb^{n-k}]
[tex:P_r(x_1=N_1,x_2=N_2,\cdots x_w=N_w)=\frac{n!}{N_1!N_2!\cdots N_w!}p_1^{N_1}p_2^{N_2}\cdots p_w^{N_w}}]