順列(permutation)と組み合わせ(combination)、階乗、二項分布・多項分布(駆け足で読む統計学のための数学入門30講 3)

• 第３講　順列・組合せと二項定理・多項定理

• 順列
  
  • 
• 組み合わせ
  
  • 
• ２項分布
  
  • 
  • とし、××である確率がとするとn個のうちk個が××である確率はと表される。今、xについて0からkまですべてを足し合わせるととなり、これも総和が１の確率分布であり、このような分布を２項分布と呼ぶ
• 多項分布
• ２項分布では、××か否か、をかかに分けたが、今、通りの場合があって、それぞれが起きる確率がであるとして、全体であるとすると、その個の事象がとなる確率はと表させる。の組み合わせについてすべてを足し合わせると、その総和は１になり、確率分布であることがわかる。このような分布を多項分布という。
• 期待値・期待値の分散
  
  • ある興味の対象がある値をとるものとし、その値が２項分布や幾何分布のように、あれかこれか(離散的な値)をとるとすると、その離散的な値をとる確率がが知られているとすると、xがとりうるすべてのkについて足し合わせるととなる、また、は、xの値の期待値である。２項分布の場合には、xが起きる回数ということでとなることが式変形で示される。分散はで示せるが、これも式変形でとなる
• これらのテキスト表記は

[tex:_n\mathrm{P}_x=n(n-1)(n-2)\cdots(n-x+1)=\frac{n!}{(n-x)!}]

[tex:_n\mathrm{C}_x=\frac{_n\mathrm{P}_x}{x!}=\frac{n!}{(n-x)!x!}]

[tex:(a+b)^n=\sum_{k=0}^n_n\mathrm{C}_ka^kb^{n-k}]

[tex:P_r(x_1=N_1,x_2=N_2,\cdots x_w=N_w)=\frac{n!}{N_1!N_2!\cdots N_w!}p_1^{N_1}p_2^{N_2}\cdots p_w^{N_w}}]