(半)独立変数が多いこと

• トレンド統計量の天井

トレンドテストでは、カテゴリに重みを与えることで算出統計量を定める。

この日の記事にて、３種類の統計量について触れたが、この第３の統計量がゼロになるように重み付けをとるとの２つは同じ値をとる。片や自由度１でP相当値を与えるのに対し、片や、本当の自由度重み付け変数の数-1、でP相当値を与える。

また、なる関係があることから、そのように重み付け変数を与えたときには最大値をとり、その値はであるとも言い換えられる。

ゼロになるような重み付けは、次のようにして与える。

今、あるカテゴリのケースの観測数が、そのカテゴリのケース・コントロールをあわせた観測数がであったとすると、で与えればよい。

• 大量変数

今、変数が十分に多く、すべてのサンプルがデータによって完全に一意に識別できるような場合を考える。

このようなとき、各サンプルをカテゴリとみなすことによって、サンプル数Nのとき2xNのテーブルが得られる。このテーブルのすべてのセルは０または１になっている。また、このようなテーブルでを最大にするような重み付け変数は、ケースサンプルに該当するカテゴリについて１、コントロールサンプルに相当するカテゴリについて０であることが容易に確かめられて、このときのである。

このことから、サンプル数Nのとき、トレンド統計量の最大値はであることがわかる。

今、を自由度で評価すると、であるのだが、このことは、サンプル数Nについて、そのサンプルのすべてを弁別できるような観測を行った場合には、N-1自由度を許すような重み付け変数のハンドリングをすると、P値は0.5(判断としてどっちつかず)に収束する、ということを数値的に示している。サーバのメンテナンスにより、すべてが言葉なのでちょっとわかりにくい。