2007-09-28

重み付け

今、２ｘ３観測分割表を

	11	12	22	sum
c1	n11	n12	n22	n1*
c2	n21	n22	n23	n2*
sum	n*1	n*2	n*3	n**

と置く。
これから、c1, c2が独立であるときの期待値の表を作り、次のように表す

	11	12	22	sum
c1	e11	e12	e22	e1*
c2	e21	e22	e23	e2*
sum	e*1	e*2	e*3	e**

さらに、観測度数と期待値との差を、次のように表すこととする。ただし、dxx=nxx-exx

	11	12	22	sum
c1	d11	d12	d22	d1*
c2	d21	d22	d23	d2*
sum	d*1	d*2	d*3	d**

ここでトレンドテストにおける、３ジェノタイプに与えるweightを $\{w1,w2,w3\}=\{0,r,1\}$ と置いても一般性を失わないので、そのように置くことにすると、トレンド統計量は
$Y^2=\frac{n**}{n1*}\frac{n**}{n2*}\frac{(\sum d1i \times (wi-w0))^2}{\sum (n*i \times (wi-w0)^2)}$
ただし、 $w0=\frac{\sum wi\times n*i}{n**}$
書き換えて
$Y^2=\frac{(r\times d12 + d13)^2}{\frac{1}{n**}(n*2n*3(1-r)^2+n*1n*2r^2+n*1n*3})$

今、 $Y^2$ はrの取りかたによらず、０以上の値をとる。
また、 $Y^2$ は極値を最大で２個とる。２個とる場合には、そのうちのひとつは $Y^2=0$ の極小値(かつ最小値)をとり、もうひとつの極値が極大値(かつ最大値)となる。
分割表の構成によっては、極値が１つしかない場合もある。値０で極小値(かつ最小値)のみを持つ場合があり、このときは、rの無限大、無限小の極限が最大値に収束する。また、極値が１つしかない場合で、値０の極小値をとらない場合には、極大値(かつ最大値)をもち、rを無限大、無限小の極限において、０に収束する。１つも極値をとらない場合は、rの値によらず０である。
式変形をすることによって、極小値は $r=-\frac{d13}{d12}$ のときにとり、極大値は $r=\frac{n*3}{n*2}\times \frac{d13n*2+d12(n*1+n*2)}{d12n*3+d13(n*1+n*3)}$
$r=\frac{n*3}{n*2}\times \frac{-n11n*2+n12n*1}{-n11n*3+n13n*1}$
のときにとる。
なお、トレンドテスト統計量の最大値は、２ｘ３分割表の自由度２におけるカイ自乗統計量に等しい。

例
極小値と極大値をとる場合
10 20 10
5 20 30
極大値のみの場合
10 20 10
5 20 15
極小値のみの場合
10 20 10
5 20 5
極値を持たない場合
10 20 10
10 20 10

確認用エクセルはこちら(掲載予定)

$W=\sum(\frac{w_j \times n_{.j}}{n_{..}})=\frac{n_{*1}+n_{*2}}{n_{**}}=1-\frac{n_{*0}}{n_{**}}$


$Y^2(\textbf{w}_{dom})=\frac{n_{..}^2}{n_{1.}n_{2.}}\frac{((n_{10}-e_{10})\times (-W)+(n_{11}-e_{11})\times (1-W)+(n_{12}-e_{12})\times (1-W))^2}{(n_{.0}\times (-W)^2+n_{.1}\times (1-W)^2+n_{.2}\times (1-W)^2)}$


$Y^2(\textbf{w}_{dom})=\frac{n_{..}^2}{n_{1.}n_{2.}}\frac{((-W)\times(n_{10}+n_{11}+n_{12}-(e_{10}+e_{11}+e_{12})) + (n_{11}+n_{12})-(e_{11}+e_{12}))^2}{(n_{.0}\times (-W)^2+n_{.1}\times (1-W)^2+n_{.2}\times (1-W)^2)}$

$Y^2(\textbf{w}_{dom})=\frac{n_{..}^2}{n_{1.}n_{2.}}\frac{((n_{11}+n_{12})-(e_{11}+e_{12}))^2}{(n_{.0}\times (-W)^2+n_{.1}\times (1-W)^2+n_{.2}\times (1-W)^2)}$

$Y^2(\textbf{w}_{dom})=\frac{n_{..}^2}{n_{1.}n_{2.}}\frac{((n_{1*}-n_{10})-(n_{1*}-e_{10}))^2}{(n_{.0}\times (-W)^2+n_{.1}\times (1-W)^2+n_{.2}\times (1-W)^2)}$

$Y^2(\textbf{w}_{dom})=\frac{n_{..}^2}{n_{1.}n_{2.}}\frac{(n_{10}-e_{10})^2}{(n_{.0}\times (-W)^2+n_{.1}\times (1-W)^2+n_{.2}\times (1-W)^2)}$

$Y^2(\textbf{w}_{dom})=\frac{n_{..}^2}{n_{1.}n_{2.}}\frac{(n_{10}-e_{10})^2}{W^2\times (n_{.0}+n_{.1}+n_{.2})-2W\times (n_{.1}+n_{.2}) +(n_{.1}+n_{.2})}$

$Y^2(\textbf{w}_{dom})=\frac{n_{..}^2}{n_{1.}n_{2.}}\frac{(n_{10}-e_{10})^2}{(\frac{n_{.1}+n_{.1}}{n_{..}})^2\times (n_{..})-2\frac{n_{.1}+n_{.1}}{n_{..}}\times (n_{.1}+n_{.2}) +(n_{.1}+n_{.2})}$

$Y^2(\textbf{w}_{dom})=\frac{n_{..}^2}{n_{1.}n_{2.}}\frac{(n_{10}-e_{10})^2}{(1-\frac{n_{.1}+n_{.1}}{n_{..}})\times (n_{.1}+n_{.2})}$

$Y^2(\textbf{w}_{dom})=\frac{n_{..}^2}{n_{1.}n_{2.}}\frac{(n_{10}-e_{10})^2}{\frac{n_{.0}}{n_{..}}\times (n_{.1}+n_{.2})}$


On the other hand, $\chi^2$ for dominant model,

 $\chi^2(dom)=\frac{(n_{10}-e_{10})^2}{e_{10}}+\frac{(n_{11}+n_{12}-e_{11}-e_{12})^2}{e_{11}+e_{12}}+\frac{(n_{20}-e_{20})^2}{e_{20}}+\frac{(n_{21}+n_{22}-e_{21}-e_{22})^2}{e_{21}+e_{22}}$. 

$\chi^2(dom)=(n_{10}-e_{10})^2\times( \frac{1}{e_{10}}+\frac{1}{e_{11}+e_{12}}+\frac{1}{e_{20}}+\frac{1}{e_{21}+e_{22}})$. 

$\chi^2(dom)=(n_{10}-e_{10})^2\times( \frac{n_{..}}{n_{1.}n_{.0}}+\frac{n_{..}}{n_{1.}(n_{.1}+n_{.2})}+\frac{n_{..}}{n_{2.}n_{.0}}+\frac{n_{..}}{n_{2.}(n_{.1}+n_{.2})})$

$\chi^2(dom)=(n_{10}-e_{10})^2\times( n_{..}\frac{n_{1.}n_{.0}+n_{1.}(n_{.1}+n_{.2})+n_{2.}n_{.0}+n_{2.}(n_{.1}+n_{.2})}{n_{1.}n_{2.}n_{.0}(n_{.1}+n_{.2})})$

$\chi^2(dom)=(n_{10}-e_{10})^2\times( n_{..}^3\frac{1}{n_{1.}n_{2.}n_{.0}(n_{.1}+n_{.2})})$

Therefore 


$Y^2(\textbf{w}_{dom})=\chi^2(dom)$