書きかけ - ryamadaの遺伝学・遺伝統計学メモ

カイ自乗分布
カイ自乗値が $x$ となる確率は自由度 $N$ について、
$Pr(x)_{(df=N)}=\frac{(\frac{1}{2})^{\frac{N}{2}}}{\Gamma{(\frac{N}{2})}}(x)^{\frac{N}{2}-1}e^{-\frac{x}{2}}$

$\Gamma(\frac{1}{2})=\sqrt{\pi}$ , $\Gamma(1)=1$ , $\Gamma(\frac{3}{2})=\frac{1}{2}\sqrt{\pi}$ , $\Gamma(2)=1$ , $\Gamma(\frac{5}{2})=\frac{3\times 1}{2\times 2}\sqrt{\pi}$ , $\Gamma(3)=2$ ...
$\Gamma(\frac{1}{2})=\sqrt{\pi}$ , $\Gamma{1}=1$ で、 $\Gamma(p)=\Gamma(p-1)\times (p-1)$
と一般化して書かれる。
自由度１、２、３については、次の通り。
$Pr(x)_{(df=1)}=\frac{1}{\sqrt{2\pi x}}e^{-\frac{1}{2}x}$
$Pr(x)_{(df=2)}=\frac{1}{2}e^{-\frac{1}{2}x}$
$Pr(x)_{(df=3)}=\frac{\sqrt{x}}{2\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{1}{2}x}$
例：自由度１のカイ自乗分布は、 $x=0$ において、その確率は $Pr(x=0)_{(df=1)}=\infty$
これをRを使ってプロットしてみる。
まず、カイ自乗値として、0から20まで、0.01刻みの数値列を作る(0,0.01,0.02,...1)
x<-seq(from=0,to=20,by=0.01)
この数値に対応する、自由度1のカイ自乗値の確率は上式で出るが、Rでは
dchisq(x,1)
で出る。
したがって、このプロットは
plot(x,dchisq(x,1))
同様に、0から20までのカイ自乗値の、自由度２のとき、３のときの、出現確率は
plot(x,dchisq(x,2))
plot(x,dchisq(x,3))
として描図できる。２次元の場合、 $x=0$ のときの確率は $\frac{1}{2}$ であり、そこを最大値とした曲線となることがわかり、３次元の場合には、 $x$ が0から増えるにしたがって、確率も一度大きくなり、最大値をとった後、減少に転ずる。この最大値をとる $x$ の値は、 $\frac{dPr(x)_{(df=3)}}{dx}=0$ を満たす $x$ である。
$\frac{dPr(x)_{(df=3)}}{dx}=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\frac{1}{2}(\frac{1}{\sqrt{x}}-\sqrt{x})e^{-\frac{1}{2}x}$
$x=1$ のときに最大値をとることがわかる。

書きかけ

R行列記事
x<-seq(from=0.01,to=1,by=0.01)
y<-tate
cx<-qchisq(1-x,1)
cy<-qchisq(1-y,1)
dx<-dchisq(cx,1)
dy<-dchisq(cy,1)
prodD<-outer(dx,dy,FUN="*")
sumC<-outer(cx,cy,FUN="+")
d2<-dchisq(sumC,2)
plot(prodD)
plot(sumC)
plot(d2)

※FUNは大文字