ベルヌーイ試行尤度積分

  • 今、確率pで生起するベルヌーイ試行を考える。このような試行をn回繰り返したときに生起した回数をk回とする。
  • このような起こり方は、_nC_k p^k(1-p)^{n-k}である。
  • pが知られていないときに、n回の試行でk回生起したとする。pがp_0である尤度はL(p_0)=_nC_k p_0^k (1-p_0)^{n-k}である。
  • ここから、p_0 \le tであるのかそうでないのかが知りたいとする
    • \frac{\int_0^{t} L(p) dp}{\int_0^1 L(p)dp}がそんな値。
  • 分子と分母とで_nC_kは相殺されるから、\frac{\int_0^{t} p^k(1-p)^{n-k} dp}{\int_0^1 p^k(1-p)^{n-k}dp}が知りたいところである。
  • では\int_0^{t} p^k(1-p)^{n-k} dpはどんな関数か、というと--t^{k+1}\frac{Hypergeometric 2F1(k+1,k-n;k+2;t)}{k+1}
  • ただし、Hypergeometric 2F1(k+1,k-n;k+2;t)は超幾何関数であり、こちらのサイトの記事にて式参照可能。