ryamadaの遺伝学・遺伝統計学メモ

2008-01-10

ベルヌーイ試行尤度積分

分布超幾何関数尤度

今、確率pで生起するベルヌーイ試行を考える。このような試行をn回繰り返したときに生起した回数をk回とする。
このような起こり方は、 $_nC_k p^k(1-p)^{n-k}$ である。
pが知られていないときに、n回の試行でk回生起したとする。pが $p_0$ である尤度は $L(p_0)=_nC_k p_0^k (1-p_0)^{n-k}$ である。
ここから、であるのかそうでないのかが知りたいとする
- $\frac{\int_0^{t} L(p) dp}{\int_0^1 L(p)dp}$ がそんな値。
分子と分母とで $_nC_k$ は相殺されるから、 $\frac{\int_0^{t} p^k(1-p)^{n-k} dp}{\int_0^1 p^k(1-p)^{n-k}dp}$ が知りたいところである。

では $\int_0^{t} p^k(1-p)^{n-k} dp$ はどんな関数か、というと-- $t^{k+1}\frac{Hypergeometric 2F1(k+1,k-n;k+2;t)}{k+1}$
ただし、 $Hypergeometric 2F1(k+1,k-n;k+2;t)$ は超幾何関数であり、こちらのサイトの記事にて式参照可能。

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