ベルヌーイ試行尤度積分(2)〜FWERとの関係

  • 先日、こんな記事を書いた。
    • 今、確率pで生起するベルヌーイ試行を考える。このような試行をn回繰り返したときに生起した回数をk回とする。この生起確率は、_nC_k p^k(1-p)^{n-k}である。
    • pが知られていないときに、n回の試行でk回生起したとする。pがp_0である尤度はL(p_0)=_nC_k p_0^k (1-p_0)^{n-k}である。
  • ここから、p_0 \le tであるのかそうでないのかが知りたいとする
    • \frac{\int_0^{t} L(p) dp}{\int_0^1 L(p)dp}がそんな値で、それは、ガウスの超幾何関数_2F_1(arg1,arg2;arg3;arg4)を用いて、p_0^{k+1}\frac{_2F_1(k+1,k-n;k+2;p_0)}{_2F_1(k+1,k-n;k+2;1)}と表されること。
  • このp_0^{k+1}\frac{_2F_1(k+1,k-n;k+2;p_0)}{_2F_1(k+1,k-n;k+2;1)}であるが、k=0のときは1-(1-p_0)^{n+1}とFamily-wise error rateと同様の式となっており、k=nのときはp_0^{n+1}となっている。