駆け足で読む　測度と積分　入門から確率論へ - ryamadaの遺伝学・遺伝統計学メモ

測度と積分―入門から確率論へ

作者: M.ツァピンスキ,E.コップ,二宮祥一,原啓介
出版社/メーカー: 培風館
発売日: 2008/07
メディア: 単行本
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1. 動機と準備
- 集合と関数
  - 集合
    - べき集合、積集合(共通集合)、補集合、差(差集合)、対称差
    - $\forall$ , $\exist$
    - deMorganの法則
    - 非交差的(排他的)
    - 直積、長方形
  - 関数
    - 定義域、値域、像、逆像、合成
    - 拡張、延長、制限
    - 定義関数
    - 同値関係、同値類
  - の可算集合、非可算集合
    - 可算、有限、可算無限
    - 開集合、閉集合
    - 1次元 $\mathcal{R}$ は線形順序をもつ
    - 上界、下界
    - 上限、下限
    - 完備性
    - 収束、極限、上極限、下極限
- リーマン積分
  - 上リーマン積分、下リーマン積分
  - 分割、細分
  - リーマン可積分
  - リーマン積分の不備
    - 適用範囲(区間、関数)の制限
    - 区間依存
    - 完備性の欠如
  - ルベーグ積分の導入
    - ルベーグ測度から確率論へ
2. 測度
- 「長さ」
- 外測度(ルベーグ外測度)
  - 被覆
  - 外測度は可算劣加法的
  - ルベーグ可測集合、ルベーグ測度
    - 可算加法的
    - $\sigma$ -加法族である部分集合
    - 測度空間の構成
- ボレル集合
  - 完備化した部分集合
    - 「与えられた測度 $\mu$ に対する、 $\sigma$ -加法族Ｇの完備化」
- 確率
  - 完備化された測度空間において、測度をもとに事象の確率が定義される
  - 確率空間
    - 確率空間
    - 独立、非交差的
3. 可測関数
- ルベーグ可測関数
  - 値域を分割する
  - ボレル可測関数、ボレル関数
- 確率変数は、確率空間における可測関数
  - ボレル集合の測度の分布が確率分布
- ディラック測度
- ２つの確率変数が作る $\sigma$ -加法族が独立であるとき、この２つの確率変数は独立
4. 積分
- 単関数
- リーマン積分とルベーグ積分
- 単調収束定理
- 可積分関数
- 優収束定理(２つの極限操作の交換可能性や、順序に関すること)
- ルベーグ積分の意義
  - 極限操作性の拡張
  - 近似方法の拡張
- 確率論
  - 確率分布の積分
  - ルベーグ測度に関する密度
  - 累積密度
  - 期待値
  - 特性関数
5. 可積分関数の空間
- 距離
- ノルム
- ベクトル、ベクトル空間
- 1次空間
  - 距離、距離空間、三角不等式
  - 完備性
- ヒルベルト空間
  - シュワルツの不等式
  - 内積、直交性、射影
- $L^p$ 空間：完備性
- 確率論
  - モーメント
  - 独立性
    - 相関係数
  - 条件付期待値
6. 積測度
- 多次元ルベーグ測度
- 積 $\sigma$ -加法族
- 積測度の構成
- 切断
  - フビニの定理
- 確率
  - 結合分布、結合密度
  - 特性関数による分布の決定
7. ラドン-ニコディムの定理
- ちょっと手に負えない感じ
8. 極限定理
- 一様収束
- 各点収束
- 概収束(ほとんどいたるところで)
- $L^p$ 収束
- 確率収束
- 大数の弱法則
  - ベルンシュタイン-ワイエルシュトラウスの近似定理
    - モンテカルロ法の基礎
  - ボレル-カンテリの補題
- 大数の強法則
- 弱収束
- 中心極限定理