ryamadaの遺伝学・遺伝統計学メモ

2010-04-30

入れ子

球

原点Oを中心としたk次元の単位球Aがある
- $\sum_{i=1}^k x_i^2=1$
Aの表面の１点 $P=(p_1,p_2,...,p_k)=(1,0,0,...,0)$ と
Aの表面の任意の点 $Q=(q_1,q_2,...,q_k)$ とを考える
今、OQ上に点Q'をとり、OQ'の長さを、ただし、は角POQとする
- ベクトルの内積から $cos \theta=\sum_{i=1}^k p_i q_i = q_1$ であるので
- $Q'=(q'i= cos \theta \times q_i=q_1 \times q_i)$
Q'がどのような図形になるかを考える
- $P=Q$ のとき、 $Q'=Q=P$
- Qが $\theta=\frac{\pi}{2}$ となるようなとき、 $Q'=O$
- OPの中点をP'とすると、 $P'=(p'_i=\frac{p_i}{2})=(\frac{1}{2},0,0,...,0)$
- P'Q'の距離は $\sqrt{\sum_{i=1}^k (q_i'-p_i')^2}=\sqrt{(q_1 q_1-\frac{1}{2})^2+\sum_{i=2}^k (q_1 q_i)^2}$
- 整理して、 $\sqrt{q_1^2\sum_{i=1}^k q_i^2 -q_1^2 + \frac{1}{4}}=\frac{1}{2}$
つまり、P'を中心とする半径 $\frac{1}{2}$ の多次元球(で、それは原点とPとを通る)。

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